2026-08-28 · 让终值闭合整条鞅

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 本微弧的第一日用上穿次数排除了无限振荡，得到鞅的几乎处处极限；第二日用 Doob 最大不等式在 $p>1$ 时制造可积包络，得到 $L^p$ 收敛。可是端点 $p=1$ 没有强型最大不等式：

$$\underset{n}{sup}\mathbb{E}|X_n|<\mathrm{\infty }$$

仍不足以保证 $L^1$ 收敛。正确的端点条件是一致可积性 (uniform integrability)，但今天的目标不只是再次说明“尾质量不能逃逸”，而是回答更强的结构问题：哪些鞅确实来自某个可积终值的逐层条件投影？

这条路线已有明确前史，故先划清增量：

• 2026-07-19 已证明一致可积性的共同尾截断与小事件绝对连续刻画；
• 2026-07-20 已证明“依概率收敛 + 一致可积 $⟺L^1$ 收敛”的 Vitali 定理；
• 2026-07-31 已证明 $Z\mapsto \mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n]$ 自动生成鞅，并把一致可积用于无界停时；
• 2026-08-26 与 2026-08-27 已分别处理几乎处处鞅收敛与 $p>1$ 的 $L^p$ 鞅收敛。

今天把这些已建立的部件接成一个此前尚未展开的闭环：

$$\text{一致可积鞅}⟺L^1\text{ 收敛鞅}⟺\text{由终值闭合的鞅}.$$

对象与量词分为四层：

1. 概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 与增长滤过 $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$；
2. 信息极限
   $${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}:=\sigma \left(\bigcup _{n\ge 0}{\mathcal{F}}_n\right);$$
3. 一列适应、可积并满足塔式相容性的随机变量 $(X_n)$；
4. 一个 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测终值 $X_{\mathrm{\infty }}\in L^1$，使每个过去层满足
   $$X_n=\mathbb{E}[X_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n].$$

前置知识是条件期望、Markov 不等式、积分的绝对连续性、Vitali 定理，以及本微弧第一日的几乎处处收敛。主导 proof engines 是：Vitali 把逐点极限升级成 $L^1$ 极限；条件期望的 $L^1$ 压缩性把极限送回每个过去层；小概率层集与积分绝对连续性反向证明闭鞅族一致可积；塔式性质辨认最终可见部分。

本期是三日 anchor micro-arc“鞅收敛”的第 3 日，也是收束日。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 Bridge input：只回收本期需要的一致可积与 Vitali 接口

为使主定理自足，先固定两个已在 2026-07-19 至 20 证明过的接口；这里不重复其完整证明。

定义（probabilistic uniform integrability，概率型一致可积性）。 对一族实值可积随机变量 $\mathcal{K}\subset L^1$，称 $\mathcal{K}$ 一致可积，当且仅当

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }R=R(\epsilon )\in (0,\mathrm{\infty }),\mathrm{\forall }Y\in \mathcal{K},\mathbb{E}[|Y|{\mathbf{1}}_{\{|Y|>R\}}]<\epsilon .$$

同一个 $R$ 必须控制整族，而不能随 $Y$ 改变。该条件有两个本期要用的直接后果：

1. 一致 $L^1$ 有界：
   $$\underset{Y\in \mathcal{K}}{sup}\mathbb{E}|Y|<\mathrm{\infty };$$
2. 积分的一致绝对连续性：
   $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta =\delta (\epsilon )>0,\mathrm{\forall }A\in \mathcal{F},\mathbb{P}(A)<\delta ⟹\underset{Y\in \mathcal{K}}{sup}\mathbb{E}[|Y|{\mathbf{1}}_A]<\epsilon .$$

第二条来自截断分解

$$\mathbb{E}[|Y|{\mathbf{1}}_A]\le \mathbb{E}[|Y|{\mathbf{1}}_{\{|Y|>R\}}]+R\mathbb{P}(A).$$

Vitali 接口。 若 $X_n\to X$ 依概率，则

$$X_n\to X\text{ in }{L}^1$$

当且仅当 $\{X_n:n\ge 0\}$ 一致可积；在反向中 $X\in L^1$ 也由这些假设推出。这里依概率收敛负责让坏事件变小，一致可积负责让小事件上的积分质量一致变小。

另一个常用入口是：若存在 $p>1$ 与 $C<\mathrm{\infty }$，使

$$\underset{Y\in \mathcal{K}}{sup}\mathbb{E}|Y{|}^p\le C,$$

则

$$\mathbb{E}[|Y|{\mathbf{1}}_{\{|Y|>R\}}]\le C{R}^{1-p},$$

故 $\mathcal{K}$ 自动一致可积。昨日的 $p>1$ 理论因此是今天端点理论的一个强条件特例。

1.2 主定理：一致可积、$L^1$ 极限与闭鞅三者等价

令

$${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}=\sigma \left(\bigcup _{n\ge 0}{\mathcal{F}}_n\right).$$

定理（Doob $L^1$ martingale convergence / closed martingale characterization）。 设 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 是关于 $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 的实值离散鞅。下列三条等价：

1. 一致可积：
   $$\{X_n:n\ge 0\}\text{ 一致可积};$$
2. $L^1$ 收敛： 存在 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测的 $X_{\mathrm{\infty }}\in L^1$，使
   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{E}|X_n-X_{\mathrm{\infty }}|=0;$$
3. 闭鞅表示： 存在 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测的 $X_{\mathrm{\infty }}\in L^1$，使
   $$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,X_n=\mathbb{E}[X_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n]\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

“闭鞅”意指整条过程由同一个可积终值的条件投影闭合；它不是说每个鞅预先都给定了终值。

证明：$(1)\Rightarrow (2)$。 一致可积蕴含一致 $L^1$ 有界。由 2026-08-26 已建立的 Doob 几乎处处收敛定理，存在 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测的 $X_{\mathrm{\infty }}\in L^1$，使

$$X_n\to X_{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

几乎处处收敛蕴含依概率收敛；再用 Vitali 接口，得到

$$\mathbb{E}|X_n-X_{\mathrm{\infty }}|⟶0.$$

这里的职责分工很清楚：鞅结构制造极限，一致可积性阻止积分质量在取极限时丢失。

证明：$(2)\Rightarrow (3)$。 固定 $n$。对每个 $m\ge n$，鞅性质与塔式性质给出

$$X_n=\mathbb{E}[X_m\mid {\mathcal{F}}_n]\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

条件期望是 $L^1$ 压缩：对所有 $Y\in L^1$，

$${\Vert \mathbb{E}[Y\mid {\mathcal{F}}_n]\Vert }_1\le \parallel Y{\parallel }_1.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\Vert X_n-\mathbb{E}[X_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n]\Vert }_1& ={\Vert \mathbb{E}[X_m-X_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n]\Vert }_1\\ & \le \parallel X_m-X_{\mathrm{\infty }}{\parallel }_1⟶0.\end{array}$$

左侧与 $m$ 无关，只能等于零，故

$$X_n=\mathbb{E}[X_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n]\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

对每个 $n$ 成立。

证明：$(3)\Rightarrow (1)$。 令

$$A_{n,R}:=\{|X_n|>R\}.$$

由条件 Jensen，

$$|X_n|\le \mathbb{E}[|X_{\mathrm{\infty }}|\mid {\mathcal{F}}_n]\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

所以

$$\mathbb{E}|X_n|\le \mathbb{E}|X_{\mathrm{\infty }}|.$$

Markov 不等式进而给出

$$\underset{n}{sup}\mathbb{P}(A_{n,R})\le \frac{\mathbb{E}|X_{\mathrm{\infty }}|}{R}⟶0.$$

因为 $A_{n,R}\in {\mathcal{F}}_n$，还可把示性函数提出条件期望：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[|X_n|{\mathbf{1}}_{A_{n,R}}]& \le \mathbb{E}[\mathbb{E}(|X_{\mathrm{\infty }}|\mid {\mathcal{F}}_n){\mathbf{1}}_{A_{n,R}}]\\ & =\mathbb{E}[|X_{\mathrm{\infty }}|{\mathbf{1}}_{A_{n,R}}].\end{array}$$

$X_{\mathrm{\infty }}\in L^1$ 的积分对小概率集合绝对连续，而 $A_{n,R}$ 的概率对所有 $n$ 一致趋零。因此

$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n}{sup}\mathbb{E}[|X_n|{\mathbf{1}}_{\{|X_n|>R\}}]=0.$$

这正是一致可积性。

三条箭头分别由三种不同机制承担：Doob + Vitali、条件期望压缩、Markov + 积分绝对连续。 它们不可压成一句“显然由极限交换”。

1.3 Lévy 向上定理：增长的信息只恢复最终可见部分

定理（Lévy upward theorem，Lévy 向上定理）。 设 $Z\in L^1(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$，并令

$$X_n:=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n].$$

则

$$X_n⟶\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]$$

既几乎处处成立，也在 $L^1$ 中成立。

推导。 令

$$Y:=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}].$$

因为 ${\mathcal{F}}_n\subseteq {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$，塔式性质给出

$$\mathbb{E}[Y\mid {\mathcal{F}}_n]=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n]=X_n.$$

所以 $(X_n)$ 是由 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测终值 $Y$ 闭合的鞅。上一节先给出一致可积性，再给出 $L^1$ 与几乎处处收敛，目标正是 $Y$。

只有额外知道

$$Z\text{ 对 }{\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}\text{ 可测},$$

才有

$$\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]=Z\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

Section 4 将逐项验证删除这项可测性后的最小失效模型。

1.4 谱系与 modern extension

Doob 在 1997 年与 J. Laurie Snell 的访谈中回忆：他所评阅的 Jean Ville 1939 年著作已经使用鞅序列的最大不等式，却没有正式定义 martingale；Doob 随后把公平博弈、可选时刻与增长的 $\sigma$-代数组织成系统理论，并在 1953 年的 Stochastic Processes 中展开。他对收敛的直觉是：信息越来越多形成某种单调语境，但仍需要适当的解析条件。三日微弧现在把后半句具体化为上穿控制、$p>1$ 最大包络与 $p=1$ 一致可积性。

现代形式化工作把条件期望、Vitali 定理、几乎处处与 $L^1$ 鞅收敛、闭鞅表示和 Lévy 向上定理放进同一条可机检依赖链。它尤其明确区分两个目标：若 $g$ 已对 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$ 可测，则 $\mathbb{E}[g\mid {\mathcal{F}}_n]\to g$；对一般 $Z$，目标则是 $\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]$。

在连续时间中，相应端点条件常以 class (D) 出现：要求适当停时取样族一致可积。其精神与闭鞅刻画相同，但路径正则性、停时索引和不可数时间使量词层更复杂；本期定理只陈述离散时间版本。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目。 在概率空间

$$([0,1),\mathcal{B}([0,1)),\lambda )$$

上，固定 $a\in (0,1)$，令

$$Z={\mathbf{1}}_{[0,a)}.$$

对每个 $n\in {\mathbb{N}}_0$，令 ${\mathcal{F}}_n$ 由 dyadic intervals（二进区间）

$$I_{n,k}=[k{2}^{-n},(k+1)2^{-n}),0\le k<2^n,$$

生成，并定义

$$X_n=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n].$$

证明：

1. 对 $x\in I_{n,k}$，
   $$X_n(x)=2^n\lambda (I_{n,k}\cap [0,a));$$
2. $X_n$ 与 $Z$ 最多只在包含边界点 $a$ 的一个 dyadic atom 上不同，并由此推出显式估计
   $$\parallel X_n-Z{\parallel }_1\le 2^{-n};$$
3. $X_n\to Z$ 几乎处处且在 $L^1$ 中成立。

模板识别。 当条件 $\sigma$-代数由有限分割生成时，条件期望就是“每个 atom 上取平均值”。若目标函数是区间指标，除穿过跳跃点的边界 atom 外，其余 atom 上函数恒为 $0$ 或 $1$；逼近误差因此完全由边界 atom 的尺度控制。

分级提示。

1. 先写出有限分割上的候选函数：在每个 $I_{n,k}$ 上取 $Z$ 的平均值；用条件期望的集合积分刻画验证它。
2. 若某个 atom 完全包含于 $[0,a)$ 或完全位于其外，胞腔平均值分别是多少？
3. 一个半开 dyadic 分割中，至多有几个 atom 同时接触 $[0,a)$ 与其补集？该 atom 的测度是多少？
4. 对固定 $x\ne a$，当 $2^{-n}<|x-a|$ 时，包含 $x$ 的 atom 还能跨过 $a$ 吗？

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

Terence Tao 在为随机矩阵课程撰写的第一人称讲义 254A, Notes 0: A review of probability theory（What's new, 2010 年 1 月 1 日）中提出一条“probabilistic way of thinking”的原则：

probability theory is only “allowed” to study concepts and perform operations which are preserved with respect to extension of the underlying sample space

概率论只应当研究那些在扩张底层样本空间时仍保持不变的概念与操作。

英文引文逐字核对自 Tao 本人维护的原始文章页面；中文为本刊翻译。

这条原则要求区分“随机性的某种坐标表示”与“真正的概率结构”。给样本空间额外乘上一个无关随机源，不应改变原随机变量的分布、条件关系或已经建立的定理；正如几何对象不应依赖坐标重标记。

今天的条件投影也应这样读。$\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n]$ 只依赖 $Z$ 与可见信息层 ${\mathcal{F}}_n$ 的概率关系，而不是样本点如何命名。更重要的是，扩大 ambient $\mathcal{F}$ 并不等于扩大观察者的 ${\mathcal{F}}_n$：若新随机性从未进入滤过，Lévy 向上极限就不会凭空恢复它。Section 4 的二点模型正把这项表示不变性与信息边界分开检查。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

删除 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测性：向上定理不会恢复隐藏终值

取

$$\mathrm{\Omega }=\{-1,1\},\mathbb{P}(\{-1\})=\mathbb{P}(\{1\})=\frac{1}{2},$$

令 $\mathcal{F}=2^{\mathrm{\Omega }}$，并对所有 $n$ 取平凡信息层

$${\mathcal{F}}_n=\{\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}.$$

于是

$${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}=\sigma \left(\bigcup _n{\mathcal{F}}_n\right)=\{\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}.$$

定义终端随机变量

$$Z(\omega )=\omega .$$

逐项检查：

1. $Z\in L^1$，且 $\mathbb{E}Z=0$；
2. $Z$ 不是 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测的，因为它区分 $\{-1\}$ 与 $\{1\}$，而平凡 $\sigma$-代数看不见这两个事件；
3. 对每个 $n$，
   $$X_n:=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n]=0;$$
4. 因此 $(X_n)$ 是一致可积鞅，并且在几乎处处与 $L^1$ 意义下都收敛到 $0$；
5. 同时
   $$\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]=0,$$
   所以 Lévy 向上定理给出的目标完全正确；
6. 但
   $$\parallel X_n-Z{\parallel }_1=\mathbb{E}|Z|=1$$
   对每个 $n$ 都成立，故 $X_n$ 不可能收敛到 $Z$。

这暴露的是信息边界，而不是积分边界：一致可积性已经完美成立，失败只因终端符号从未进入任何信息层。条件期望不会创造信息；它只投影已经给定、并在指定 $\sigma$-代数中可见的部分。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 设 $Z\in L^1$，$({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 为增长滤过，并令

$$X_n=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n],{\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}=\sigma \left(\bigcup _n{\mathcal{F}}_n\right).$$

请证明极限公式

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\parallel X_n-Z{\parallel }_1={\Vert \mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]-Z\Vert }_1.$$

进而刻画何时 $X_n\to Z$ 于 $L^1$：请把答案写成关于 $Z$ 与 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$ 的可测性条件，并说明“存在一个 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}$-可测版本”为什么已经足够。

方向提示。 令

$$Y=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}].$$

先用 Lévy 向上定理得到 $\parallel X_n-Y{\parallel }_1\to 0$；再利用反三角不等式判断映射 $U\mapsto \parallel U-Z{\parallel }_1$ 对 $L^1$ 收敛是否连续。最后使用条件期望等于原变量的判据处理右侧为零的情形。

数学地图。

$$\begin{array}{c}\text{Radon--Nikodym 定理与条件期望}\\ \downarrow \\ \text{增长滤过 }({\mathcal{F}}_n)\\ \downarrow \\ \text{Doob 上穿与几乎处处收敛}\\ \downarrow \\ \text{一致可积性 + Vitali}\\ \downarrow \\ \text{闭鞅表示与 Lévy 向上定理}\\ \swarrow \searrow \\ \text{逆鞅与 Lévy 向下定理}\text{Dunford--Pettis 弱紧致性}\\ \downarrow \\ \text{随机图揭示鞅、随机分析 class (D)、遍历论条件投影}\end{array}$$

三日微弧至此闭合：路径振荡由上穿法处理，整条路径的 $p>1$ 大小由最大不等式处理，$p=1$ 的尾质量与终值相容性则由一致可积性和闭鞅表示处理。

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

可复用模板：有限分割上的条件期望等于 atom 平均；对分片常值或分片光滑对象，误差只需在穿过边界的 atoms 上估计。

固定 $n$。对每个 $0\le k<2^n$，令

$$c_{n,k}:=\frac{1}{\lambda (I_{n,k})}{\int }_{I_{n,k}}Zd\lambda .$$

因为 $\lambda (I_{n,k})=2^{-n}$ 且 $Z={\mathbf{1}}_{[0,a)}$，

$$c_{n,k}=2^n\lambda (I_{n,k}\cap [0,a)).$$

定义分片常值函数

$$Y_n:=\sum _{k=0}^{2^n-1}{c}_{n,k}{\mathbf{1}}_{I_{n,k}}.$$

$Y_n$ 对 ${\mathcal{F}}_n$ 可测。还要验证条件期望的积分刻画。任取 $A\in {\mathcal{F}}_n$；因为 ${\mathcal{F}}_n$ 由有限 atoms $I_{n,k}$ 生成，$A$ 是若干 atoms 的并。对每个被选中的 atom，

$${\int }_{I_{n,k}}{Y}_{n}d\lambda =c_{n,k}\lambda (I_{n,k})={\int }_{I_{n,k}}Zd\lambda .$$

对组成 $A$ 的 atoms 求和，得到

$${\int }_A{Y}_{n}d\lambda ={\int }_{A}Zd\lambda .$$

因此 $Y_n$ 是 $\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n]$ 的一个版本，即对 $x\in I_{n,k}$，

$$X_n(x)=2^n\lambda (I_{n,k}\cap [0,a))$$

几乎处处成立。这证明第一问。

现在检查各个 atoms。若

$$I_{n,k}\subset [0,a),$$

则 $c_{n,k}=1$，所以该 atom 上 $X_n=Z=1$。若

$$I_{n,k}\cap [0,a)=\varnothing ,$$

则 $c_{n,k}=0$，所以该 atom 上 $X_n=Z=0$。

因而只有同时接触 $[0,a)$ 与其补集的 atom 可能产生误差。半开 dyadic 分割中至多有一个这样的 atom，记为 $J_n$；若 $a$ 恰是 dyadic 分点，则连这个部分相交的 atom 也不存在。无论哪种情形，

$$\lambda (J_n)\le 2^{-n},$$

且 $0\le X_n,Z\le 1$。故

$$\begin{array}{rl}\parallel X_n-Z{\parallel }_1& ={\int }_{J_n}|X_n-Z|d\lambda \\ & \le \lambda (J_n)\\ & \le 2^{-n}.\end{array}$$

于是

$$\parallel X_n-Z{\parallel }_1⟶0.$$

最后证明几乎处处收敛。固定 $x\in [0,1)\setminus \{a\}$。取 $n_0=n_0(x,a)$，使

$$2^{-n_0}<|x-a|.$$

对所有 $n\ge n_0$，包含 $x$ 的 dyadic atom 的直径为 $2^{-n}<|x-a|$，因此不可能同时包含或跨过 $a$。该 atom 完全位于 $a$ 的一侧，于是其上 $Z$ 为常数，并有

$$X_n(x)=Z(x).$$

故对每个 $x\ne a$，序列甚至从某一项起恒等于 $Z(x)$。单点 $\{a\}$ 的 Lebesgue 测度为零，所以

$$X_n\to Z\lambda \text{-a.e.}$$

结合上面的显式范数估计，第三问得证。

这个例子也是 Lévy 向上定理的可计算模型：dyadic $\sigma$-代数不断加细并生成 Borel 信息，区间指标 $Z$ 对最终信息可测；抽象的条件期望收敛在这里具体表现为“只有一个边界 cell 尚未分辨，且其长度按 $2^{-n}$ 缩小”。

资料与来源 (Sources)

1. Kexing Ying and Rémy Degenne, “A Formalization of Doob’s Martingale Convergence Theorems in mathlib,” CPP 2023, DOI 10.1145/3573105.3575675, arXiv:2212.05578. 论文陈述并形式化条件期望、Vitali 收敛、$L^1$ 鞅收敛的三项等价、闭鞅表示与 Lévy 向上定理；用于核验 Section 1 的依赖链与定理边界。https://arxiv.org/html/2212.05578
2. Lean mathematical library (mathlib), Mathlib.Probability.Martingale.Convergence. 当前文档给出一致可积次鞅的几乎处处及 $L^1$ 收敛、鞅极限的条件期望表示，以及 Lévy 向上定理的几乎处处和 $L^1$ 版本。https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.html
3. Lean mathematical library (mathlib), Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable. 当前文档区分测度论型与概率型一致可积性，并记录有限测度空间上的 Vitali 收敛定理；用于核验 Section 1.1 的接口陈述。https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.html
4. J. Laurie Snell, “A conversation with Joe Doob,” Statistical Science 12(4), 301–311, November 1997, DOI 10.1214/ss/1030037961. 期刊元数据由 Project Euclid 核验；Section 1.4 的历史回顾按 Dartmouth 保存的访谈全文核验。https://projecteuclid.org/journals/statistical-science/volume-12/issue-4/A-Conversation-with-Joe-Doob/10.1214/ss/1030037961.full · https://chance.dartmouth.edu/Doob/conversation.html
5. Terence Tao, “254A, Notes 0: A review of probability theory,” What's new, 1 January 2010. Section 3 的英文引文、日期与关于样本空间扩张不变性的上下文逐字核对自 Tao 本人维护的页面。https://terrytao.wordpress.com/2010/01/01/254a-notes-0-a-review-of-probability-theory/
6. 《每日数学》既有议题比较。 本期实际复核了 2026-07-19、2026-07-20、2026-07-31、2026-08-26 与 2026-08-27 的本地归档；前两期提供 UI/Vitali 输入，后三期提供终值鞅、几乎处处收敛与 $p>1$ 收敛前件，本期新增闭鞅三向等价、Lévy 极限目标与 dyadic 显式模型。