2026-08-08 · 平均度越过一时

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 昨日研究的是 $p\sim (\log n)/n$：最后一个孤立点消失，图才终于连通。可是随机图在那之前早已出现一个包含正比例顶点的 connected component（连通分量）。它究竟何时诞生？答案落在更稀疏的尺度

$$p=\frac{c}{n},$$

此时每个顶点的期望度为 $(n-1)p\to c$。当 $c$ 越过 $1$，最大分量的阶从 $\log n$ 突然变成 $n$；在等号 $c=1$ 处，又出现介于二者之间的 $n^{2/3}$。这就是随机图演化中的 giant-component phase transition（巨分量相变），亦是经典 “double jump”（双跃迁）图景的一部分。

对象与量词层。 固定 $c>0$；对每个充分大的整数 $n$（从而 $c/n\le 1$），取

$$G_n\sim G(n,p_n),p_n=\frac{c}{n},$$

其中 $c>0$ 是先固定、再令 $n\to \mathrm{\infty }$ 的常数。把各连通分量按顶点数递减排列为

$$L_1(G_n)\ge L_2(G_n)\ge \cdots ,$$

其中 $L_i$ 是第 $i$ 大分量的顶点数。所谓 giant component（巨分量），是大小为 $\mathrm{\Theta }(n)$ 的分量；这一定义不等于“图已连通”。

今日必须分开三层对象：

1. 局部层： 从一个给定顶点出发的 breadth-first search（广度优先搜索）在早期像一棵随机分枝树；
2. 总体层： 有多少顶点落在大分量中，需要计数的浓缩；
3. 唯一性层： “许多大分量的总质量为 $\rho n$”尚不等于“存在唯一的 $\rho n$ 巨分量”，还需 sprinkling（撒边）或同等强度的全局机制。

前置知识。 有限图与连通分量、二项与 Poisson 分布、概率母函数、Markov/Chebyshev 不等式、简单的凸性和 Taylor 展开。Graduate / modern extension 才会用到过程收敛、Brownian motion（Brownian 运动）与 metric-space scaling limit（度量空间缩放极限）。

主导 proof engines。 今日的证明架构是

$$\text{BFS 探索}⟶\text{Poisson Galton--Watson 近似}⟶\text{灭绝不动点}⟶\text{大分量顶点数浓缩}⟶\text{sprinkling 唯一化}.$$

在 $c=1$，固定点只告诉我们“局部分枝过程最终灭绝”，不再给出分量尺度；这时要改看完整探索队列的漂移与波动如何平衡。

这是三日 anchor micro-arc 的第 2 日，也是对 2026-08-07 的 deepen：昨日定位连通阈值，今日解释更早的巨分量阈值，并精确指出二者相差一个 $\log n$ 因子的原因。下一日将把今日习题中的 Chernoff machinery 提升为“组合熵对指数代价”的统一阈值语言。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 从一个顶点探索：队列为何近似分枝过程

固定顶点 $v$。开始时把 $v$ 放入 active queue（活动队列）。每一步取出一个活动顶点，检查它与尚未发现顶点之间的边，把新发现的邻点加入队列；队列首次变空时，恰好探索完 $v$ 所在的分量 $C(v)$。

若在某一步之前已经发现 $r$ 个顶点，而当前尚有 $u$ 个未发现顶点，则新发现数在给定过去后服从

$$\mathrm{Bin}(u,p_n).$$

当只探索了 $o(n)$ 个顶点且 $p_n=c/n$ 时，$u=n-o(n)$，故

$$\mathrm{Bin}(u,c/n)\stackrel{d}{\to }\mathrm{Poisson}(c).$$

因此，固定任意深度或固定任意分量大小上界后，$C(v)$ 的早期 BFS tree（广度优先生成树）趋近于 offspring law（后代分布）为 $\mathrm{Poisson}(c)$ 的 Galton--Watson process（Galton--Watson 分枝过程）。

这里有一个重要边界：随机图探索并不真的等于独立分枝过程。随着探索推进，可用顶点会减少；两个活动顶点也可能指向同一个尚未发现顶点，产生 collision（碰撞）；分量内部还可能出现非树边。局部近似只在探索规模相对 $n$ 很小时直接可靠，不能凭一句“像分枝过程”就宣布全局巨分量定理。

1.2 灭绝方程给出候选巨分量密度

令 $Z$ 为一棵 $\mathrm{Poisson}(c)$ Galton--Watson 树，$q=q(c)$ 为其 extinction probability（灭绝概率）。条件于根的子女数 $N$，整棵树灭绝，当且仅当每一棵子树都灭绝。于是

$$q=\mathbb{E}(q^N).$$

Poisson 概率母函数为

$$\mathbb{E}(s^N)=\exp (c(s-1)),$$

故

$$\boxed{{\displaystyle q=e^{c(q-1)}.}}$$

更完整地说，$q$ 是区间 $[0,1]$ 中该方程的最小解：若 $q_k$ 表示“至多第 $k$ 代便灭绝”的概率，则

$$q_0=0,q_{k+1}=e^{c(q_k-1)},q_k\uparrow q.$$

定义 survival probability（生存概率）

$$\rho (c):=1-q(c).$$

则它满足

$$\boxed{{\displaystyle \rho =1-e^{-c\rho }.}}$$

考察

$$g_c(\rho )=1-e^{-c\rho }-\rho ,0\le \rho \le 1.$$

有 $g_c(0)=0$、$g_c^{\prime }(0)=c-1$，且 $g_c^{″}(\rho )=-c^2{e}^{-c\rho }<0$。因此：

• 若 $0<c\le 1$，没有正根，故 $\rho (c)=0$；
• 若 $c>1$，存在唯一正根 $\rho (c)\in (0,1)$。

这给出相变点 $c=1$，并预言超临界巨分量应占据 $\rho (c)$ 比例的顶点。

1.3 主定理：从对数分量到唯一巨分量

定理（Erdős--Rényi 巨分量相变，固定 $c$ 形式）。 设 $c>0$ 固定，$G_n\sim G(n,c/n)$。

1. Subcritical regime（次临界区）$0<c<1$。 存在只依赖于 $c$ 的常数 $K(c)<\mathrm{\infty }$，使得

   $$\mathbb{P}(L_1(G_n)\le K(c)\log n)⟶1.$$

2. Supercritical regime（超临界区）$c>1$。 令 $\rho (c)\in (0,1)$ 为方程

   $$\rho =1-e^{-c\rho }$$

   的唯一正解。则对每个 $\epsilon >0$，

   $$\mathbb{P}(|\frac{L_1(G_n)}{n}-\rho (c)|>\epsilon )⟶0.$$

   此外存在 $K(c)<\mathrm{\infty }$，使

   $$\mathbb{P}(L_2(G_n)\le K(c)\log n)⟶1.$$

所以，$c>1$ 时不仅有线性大小的分量，而且这样的分量以高概率唯一；其余分量仍只有对数大小。[2][3]

为什么次临界分量只有 $O(\log n)$。 BFS 可由均值小于 $1$ 的分枝过程一致地控制；其次临界 total progeny（总后代数）具有指数尾：存在 $a(c)>0$，使固定根 $v$ 满足

$$\mathbb{P}(|C(v)|\ge k)\le A(c)e^{-a(c)k}$$

的适当一致版本，其中 $A(c)<\mathrm{\infty }$、$a(c)>0$。于是对 $n$ 个可能的根作 union bound，取 $k=K\log n$ 且 $K>1/a(c)$，便得到最大分量的对数上界。这里 $c<1$ 的严格不等式正用于产生正的指数衰减率。

为什么生存概率会成为顶点比例。 对固定 $k$，随机选取的顶点 $V$ 满足

$$\mathbb{P}(|C(V)|=k)⟶\mathbb{P}(|Z|=k),$$

其中 $Z$ 是上述 Poisson 分枝树。先令 $n\to \mathrm{\infty }$、再令截断 $k\to \mathrm{\infty }$，可见落在“大分量”中的顶点比例候选值为

$$1-\mathbb{P}(|Z|<\mathrm{\infty })=\rho (c).$$

通过两个顶点的联合探索或等价的二阶矩估计，可以把期望比例升级为依概率浓缩。但这一步至多说明“大分量中的总顶点数约为 $\rho n$”，还没有排除它们分散在多个宏观分量中。

sprinkling 为什么补上唯一性。 取

$$1<c_{-}<c,$$

先生成 $G^{-}\sim G(n,c_{-}/n)$，再独立加入一层稀疏边 $G^{+}$，使每条边在并图 $G^{-}\cup G^{+}$ 中出现的总概率恰为 $c/n$。先用局部近似与浓缩找出 $G^{-}$ 中承载约 $\rho (c_{-})n$ 顶点的较大分量；随后，任取两个都含线性数量顶点的分量并，其间没有任何 sprinkle edge（撒入边）的概率是 $e^{-\mathrm{\Theta }(n)}$。对可能的宏观切分作并合控制，便知这些质量以高概率被粘成一个分量。最后令 $c_{-}\uparrow c$，由 $\rho (c)$ 的连续性得到巨分量大小。

为什么第二大分量又回到 $O(\log n)$。 令 $q=1-\rho (c)$。超临界方程给出

$$q=e^{c(q-1)}.$$

在较小固定点 $q$ 处有

$$cq<1.$$

这表示从巨分量外部看，剩余图的有效分枝均值进入 subcritical dual regime（次临界对偶区）。严格的 duality argument（对偶论证）把剩余分量归约到参数约为 $cq$ 的次临界随机图，于是再次得到指数尾与 $L_2=O(\log n)$。

1.4 历史谱系：从 $N=n/2$ 到临界窗

Erdős 与 Rényi 的 1960 年论文使用固定边数模型：从 $n$ 个标号顶点和零条边开始，逐条随机加边，以边数 $N$ 作为“时间”。他们把目标表述为研究每一演化阶段的 typical structure（典型结构），并发现当

$$N\approx \frac{n}{2}$$

时分量结构发生显著变化。[1] 在 $G(n,p)$ 中，边数期望约为 $p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$；因此 $p=c/n$ 对应 $N\approx cn/2$，原来的 $N=n/2$ 正对应今日的 $c=1$。

固定 $c<1$ 与固定 $c>1$ 的二分仍太粗。真正的 finite-size critical window（有限尺寸临界窗）是

$$p=\frac{1}{n}+\lambda n^{-4/3}=\frac{1+\lambda n^{-1/3}}{n},\lambda \in \mathbb{R}\text{ 固定}.$$

它对应边时间偏离 $n/2$ 约 $n^{2/3}$。此时最大分量既非 $O(\log n)$，也非 $\mathrm{\Theta }(n)$，而取 $n^{2/3}$ 尺度。[5]

1.5 Graduate / modern extension：探索游走与 Brownian 抛物漂移

把所有分量连续探索。若 $Q_k$ 是第 $k$ 步的活动队列长度，忽略每个新分量开始时的重启记号，则增量形如

$$Q_{k+1}-Q_k={\xi }_{k+1}-1,$$

其中 ${\xi }_{k+1}$ 是新发现顶点数。在临界窗

$$p=\frac{1}{n}+\lambda n^{-4/3}$$

中，当 $k\approx n^{2/3}t$ 时，给定过去的增量均值近似为

$$\lambda n^{-1/3}-\frac{k}{n}\approx n^{-1/3}(\lambda -t),$$

而单步方差约为 $1$。累积 $n^{2/3}$ 步后：

• 随机波动尺度为 $\sqrt{n^{2/3}}=n^{1/3}$；
• 漂移总量也为 $n^{1/3}$；
• 二者恰在同一尺度竞争。

于是把时间除以 $n^{2/3}$、把队列高度除以 $n^{1/3}$，极限出现带抛物漂移的 Brownian process

$$W(t)+\lambda t-\frac{t^2}{2}.$$

将它从历史最小值反射后，各次 excursion（游程）的长度编码临界分量的 $n^{-2/3}$ 缩放大小；分量内部距离则取 $n^{1/3}$ 尺度。Aldous 的 multiplicative coalescent（乘法凝聚过程）以及 continuum random tree（连续随机树）由此进入随机图理论。[5]

这里精确暴露了方法更换的原因：$c\ne 1$ 时，分枝过程的非零漂移支配尾部；$c=1$ 时，一阶漂移消失，有限总体造成的负漂移与随机波动必须同时保留。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目

设

$$X\sim \mathrm{Bin}(n,p),n\ge 1,0<p<1,\mu =np.$$

证明：对每个 $\delta >0$，

$$\mathbb{P}(X\ge (1+\delta )\mu )\le {\left(\frac{e^{\delta }}{(1+\delta {)}^{1+\delta }}\right)}^{\mu }\le \exp (-\frac{\mu {\delta }^2}{2+\delta }).$$

模板识别

看到“独立和 + 偏离均值的乘性上尾 + 希望得到指数小概率”，应优先想到 Chernoff exponential-moment method（Chernoff 指数矩法）：不直接估计尾概率，而把事件嵌入 $e^{tX}$，利用独立性分解矩母函数，再优化倾斜参数 $t$。

分级提示

1. 对任意 $t>0$，先对非负随机变量 $e^{tX}$ 使用 Markov 不等式。
2. 写 $X=\sum _{i=1}^n{B}_i$，其中 $B_i$ 独立且服从 $\mathrm{Bernoulli}(p)$；计算 $\mathbb{E}{e}^{tX}$。
3. 使用 $1+u\le e^u$，把矩母函数控制为 $\exp (\mu (e^t-1))$。
4. 在所得指数中取 $t=\log (1+\delta )$；最后单独证明
   $$(1+\delta )\log (1+\delta )-\delta \ge \frac{{\delta }^2}{2+\delta }.$$

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

人物与文本。 Alexandre Grothendieck 在回顾数学创造的长篇第一人称文本 Récoltes et Semailles 中，区分了“任意制造结构”与“耐心揭示结构”。本期所用临时校订本注明尽可能忠实于 typescript；引文位于开篇 Promenade à travers une œuvre 的第 9 节 “Forme et structure — ou la voix des choses”。[4]

核验短引。

La structure d’une chose n’est nullement une chose que nous puissions “inventer”. Nous pouvons seulement la mettre à jour patiemment, humblement — en faire connaissance, la “découvrir”.

中译。 “一个对象的结构绝不是我们能够‘发明’出来的东西。我们只能耐心而谦逊地把它揭示出来——逐渐认识它，‘发现’它。”

评注。 这里的 “structure” 不是说数学语言无需创造；紧接该段，Grothendieck 正谈到发明更合适的语言来表达对象的内部结构。关键在于：语言可以设计，约束不能任意指定。今日把随机图局部探索写成分枝过程，就是发明了一件揭示工具；但碰撞、顶点耗尽和多个大分量之间的关系并不会因模型漂亮而消失。于是证明必须对自己的近似保持谦逊：固定点揭示候选密度，浓缩检验总体质量，sprinkling 回答唯一性，临界探索过程则在局部模型失去尺度信息时重新倾听有限图本身。

这也给出可迁移的方法论：不是把现实网络强塞进 $G(n,p)$，而是逐项问模型保留了哪些结构、删掉了哪些依赖；只有在这些边界内，分枝阈值与巨分量结论才有解释力。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

4.1 删掉严格不等式 $c<1$：对数上界在 $c=1$ 失效

把次临界定理中的 $c<1$ 擅自改成 $c\le 1$，便会得到错误命题

$$L_1(G(n,1/n))=O(\log n)\text{w.h.p.}$$

正确边界是：对每个 $\epsilon >0$，存在常数 $0<a_{\epsilon }<b_{\epsilon }<\mathrm{\infty }$，使对充分大的 $n$，

$$\mathbb{P}(a_{\epsilon }{n}^{2/3}\le L_1(G(n,1/n))\le b_{\epsilon }{n}^{2/3})\ge 1-\epsilon .$$

逐层检查失效机制：

1. $c=1$ 时 Poisson 分枝过程仍以概率 $1$ 灭绝，所以 $\rho (1)=0$；
2. 但 critical total progeny（临界总后代数）不再有指数尾，而具有 $k^{-3/2}$ 量级的概率质量尾形；
3. 因而 Section 1.3 中“固定根指数尾 + 对 $n$ 个根并合”的 $O(\log n)$ 机制失去关键常数 $a(c)>0$；
4. 有限图中的探索碰撞与顶点耗尽在 $n^{2/3}$ 步上积累成不可忽略的抛物负漂移；
5. 最终分量尺度由漂移与 $n^{1/3}$ 随机波动的平衡决定，而不是由灭绝概率单独决定。

所以 $q=1$ 同时发生在 $c<1$ 和 $c=1$，但两者的最大分量尺度完全不同。不动点判断相变方向，却不自动给出临界有限尺寸标度。

4.2 有唯一巨分量仍远非连通：$G(n,2/n)$

再取具体参数

$$p=\frac{2}{n}.$$

Section 1 的超临界定理给出唯一巨分量，其比例是方程

$$\rho =1-e^{-2\rho }$$

的正解，数值约为

$$\rho (2)\approx 0.796812.$$

然而令 $X_0$ 为孤立点数。固定顶点孤立的概率为 $(1-2/n{)}^{n-1}$，所以

$$\mathbb{E}{X}_0=n{(1-\frac{2}{n})}^{n-1}\sim e^{-2}n.$$

还需检查这不是“期望由罕见大值造成”。对两个不同顶点同时孤立，需要缺失 $2n-3$ 条相关边，因此

$$\mathbb{E}(X_0{)}_2=n(n-1){(1-\frac{2}{n})}^{2n-3}.$$

于是

$$\frac{\mathbb{E}(X_0{)}_2}{(\mathbb{E}{X}_0{)}^2}=\frac{n-1}{n(1-2/n)}⟶1,$$

并且

$$\frac{\mathrm{Var}(X_0)}{n^2}⟶0.$$

故由 Chebyshev 不等式，

$$\frac{X_0}{n}\stackrel{p}{\to }{e}^{-2}\approx 0.135335.$$

逐项结论是：

1. 图中有唯一 $\mathrm{\Theta }(n)$ 巨分量；
2. 同时仍有约 $13.5\mathrm{\%}$ 的顶点是孤立点；
3. 因此图以高概率不连通；
4. “巨分量出现”的阈值 $p\asymp 1/n$ 与“全图连通”的阈值 $p\asymp (\log n)/n$ 是两个不同问题。

昨日与今日的阈值由此拼合：平均度刚越过 $1$，一个宏观大陆已经形成；平均度增长到约 $\log n$，最后的离岛才消失。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 令 $c=1+\epsilon$，其中 $\epsilon >0$。从

$$\rho =1-e^{-(1+\epsilon )\rho }$$

出发，可以形式地猜到

$$\rho (1+\epsilon )\sim 2\epsilon (\epsilon \downarrow 0).$$

请完成这个渐近展开，并思考：若进一步令

$$\epsilon =\lambda n^{-1/3},$$

则 $\rho n\sim 2\lambda n^{2/3}$ 恰好落到临界分量尺度。为什么这只能提供 crossover（交叉）线索，而不能把固定 $c>1$ 的巨分量定理直接代入，充当临界窗定理的证明？究竟是哪一处极限次序或误差一致性失效？

方向提示。 先在 $\rho \to 0$ 时把指数展开到二阶，辨认非零根；随后把两个量词顺序写出来：固定 $\epsilon >0$ 后令 $n\to \mathrm{\infty }$，与令 $\epsilon =\lambda n^{-1/3}$ 随 $n$ 同时趋零，并不是同一个极限。临界窗中，巨分量密度的 deterministic law（确定性大数律）让位于随机 excursion lengths（游程长度）。

数学地图。

$$\begin{array}{c}\text{二项分布、概率母函数、BFS}\\ \downarrow \\ \text{Poisson Galton--Watson 灭绝与生存}\\ \downarrow \\ p=c/n\text{ 的巨分量相变}\\ \swarrow \searrow \\ \text{sprinkling、对偶与唯一性}\text{临界探索游走}\\ \downarrow \downarrow \\ \text{configuration model、渗流}\text{multiplicative coalescent、CRT}\end{array}$$

与 roadmap 的相邻桥梁还有两条：

• 向 combinatorics.probabilistic-method：把“随机对象以正概率具有某性质”变成存在性证明；
• 向 probability.large-deviations：把候选集合的组合熵与坏事件的指数概率代价比较。

后者正是本 micro-arc 第 3 日的去向。

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

可复用模板：指数矩 + Markov + 参数优化的 Chernoff 上尾界。

写

$$X=\sum _{i=1}^n{B}_i,$$

其中 $B_1,\dots ,B_n$ 相互独立且 $B_i\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$。任取 $t>0$。因为指数函数递增，

$$\{X\ge (1+\delta )\mu \}=\{e^{tX}\ge e^{t(1+\delta )\mu }\}.$$

对非负随机变量 $e^{tX}$ 使用 Markov 不等式，得到

$$\mathbb{P}(X\ge (1+\delta )\mu )\le e^{-t(1+\delta )\mu }\mathbb{E}{e}^{tX}.$$

由独立性，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{e}^{tX}& =\prod _{i=1}^n\mathbb{E}{e}^{t{B}_i}\\ & =(1-p+p{e}^t{)}^n\\ & =(1+p(e^t-1){)}^n\\ & \le \exp (np(e^t-1))\\ & =\exp (\mu (e^t-1)),\end{array}$$

其中使用了 $1+u\le e^u$。因此，对每个 $t>0$，

$$\mathbb{P}(X\ge (1+\delta )\mu )\le \exp (\mu (e^t-1)-t(1+\delta )\mu ).$$

令右侧指数除去正因子 $\mu$ 后为

$$\varphi (t)=e^t-1-(1+\delta )t.$$

因为

$${\varphi }^{\prime }(t)=e^t-(1+\delta ),{\varphi }^{″}(t)=e^t>0,$$

唯一极小点是

$$t_{\ast }=\log (1+\delta )>0.$$

代入即得

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X\ge (1+\delta )\mu )& \le \exp (-\mu ((1+\delta )\log (1+\delta )-\delta ))\\ & ={\left(\frac{e^{\delta }}{(1+\delta {)}^{1+\delta }}\right)}^{\mu }.\end{array}$$

最后证明较易使用的二次型界。设

$$h(\delta )=(1+\delta )\log (1+\delta )-\delta .$$

先注意，对 $x\ge 0$，

$$\log (1+x)\ge \frac{2x}{2+x}.$$

因为两边在 $x=0$ 相等，而其差的导数为

$$\frac{1}{1+x}-\frac{4}{(2+x{)}^2}=\frac{x^2}{(1+x)(2+x{)}^2}\ge 0.$$

另一方面，

$$\frac{d}{d\delta }\left(\frac{{\delta }^2}{2+\delta }\right)=\frac{\delta (4+\delta )}{(2+\delta {)}^2}\le \frac{2\delta }{2+\delta }\le \log (1+\delta )=h^{\prime }(\delta ).$$

且 $h(0)=0=0^2/(2+0)$，故积分或比较导数可得

$$h(\delta )\ge \frac{{\delta }^2}{2+\delta }.$$

于是

$$\boxed{{\displaystyle \mathbb{P}(X\ge (1+\delta )\mu )\le {\left(\frac{e^{\delta }}{(1+\delta {)}^{1+\delta }}\right)}^{\mu }\le \exp (-\frac{\mu {\delta }^2}{2+\delta }).}}$$

模板迁移。 若目标是独立有界随机变量之和，仍可先控制每一项的 log-mgf（对数矩母函数），再相加并优化 $t$；若目标是随机图中某个候选顶点集的边数，则先对固定集合使用此界，再与候选集合数的对数比较。后一步正是“概率代价能否压过组合熵”的阈值计算。

资料与来源 (Sources)

1. P. Erdős and A. Rényi, “On the Evolution of Random Graphs,” Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences 5 (1960), 17–61. 原始论文扫描；引言定义以边数为时间的随机图演化、typical structure 与 threshold function，并讨论 $N\approx n/2$ 附近的结构变化。https://www.renyi.hu/~p_erdos/1960-10.pdf
2. Alan Frieze and Michał Karoński, Introduction to Random Graphs, online book manuscript, version dated 20 February 2026, Chapter 2 “Evolution” and Chapter 32 “Branching Processes.” 用于固定 $c$ 的次临界、超临界与临界相变陈述及现代证明框架。https://www.math.cmu.edu/~af1p/BOOK.pdf
3. Karen Gunderson, “Connected components in Erdős–Rényi random graphs,” MATH36201: Complex Networks lecture notes, 26 November–3 December 2013, University of Bristol, Sections 2–3. 明确推导 Galton--Watson 灭绝方程、局部分量近似、顶点比例与 sprinkling 唯一性。https://people.maths.bris.ac.uk/~maajg/teaching/complexnets/connected-giantcompt.pdf
4. Alexandre Grothendieck, Récoltes et Semailles: Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien, “Promenade à travers une œuvre,” §9 “Forme et structure — ou la voix des choses,” transcription edited by Mateo Carmona, provisional edition. Section 3 保留法文原句；该版本自述尽可能忠实于 typescript，故将版本状态一并注明。https://webusers.imj-prg.fr/~leila.schneps/grothendieckcircle/RetSbis.pdf
5. Louigi Addario-Berry, Nicolas Broutin, and Christina Goldschmidt, “The continuum limit of critical random graphs,” Probability Theory and Related Fields 152 (2012), 367–406. 论文开篇陈述 $p=1/n+\lambda n^{-4/3}$ 临界窗、$n^{2/3}$ 分量尺度，并研究 $n^{1/3}$ 距离尺度的连续极限。https://www.stats.ox.ac.uk/~goldschm/clcrg.pdf