2026-09-04 · 把所有稀有状态同时求和

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 前两日研究的是事件概率：Cramér 定理给经验均值的率函数，Sanov 定理给经验分布的率函数。今天把问题改成

$$Z_n(F):=\mathbb{E}\exp \{a_{n}F(Z_n)\},$$

其中 $Z_n$ 是某个随机状态，$a_n\to \mathrm{\infty }$ 是大偏差速度，$F$ 是 reward / potential（奖赏或势函数）。即使 $Z_n$ 依概率趋向典型点，也不能只把 $F(Z_n)$ 换成典型值：一个状态可能有 $e^{-a_{n}I(x)}$ 级的小概率，却被 $e^{a_{n}F(x)}$ 级的大权重放大。每个 $x$ 的净指数是

$$F(x)-I(x),$$

而所有状态相加后，由最大的净指数支配。Varadhan integral lemma（Varadhan 积分引理）把这句话精确化为

$$\begin{array}{}\text{(V)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{a_n}\log Z_n(F)=\underset{x\in E}{sup}\{F(x)-I(x)\}.\end{array}$$

对象与量词分为五层：

1. 固定 Polish space（Polish 空间）$E$ 与 $E$-值随机元 $Z_n$；
2. 令 ${\mu }_n=\mathcal{L}(Z_n)$，假设 $\{{\mu }_n\}$ 以速度 $a_n\to \mathrm{\infty }$、好率函数 $I$ 满足 LDP；
3. 对每个有界连续函数 $F:E\to \mathbb{R}$，形成指数积分 $Z_n(F)$；
4. 先对随机状态积分，再取 $a_n^{-1}\log$ 极限；
5. 结论是在整个状态空间上优化 $F-I$，而不是只在 $I=0$ 的典型点上代入。

先修：闭集上界与开集下界、连续函数、有限覆盖、相对熵。主导 proof engines：下界只保留一个近似最优点的开邻域；上界把 $F$ 的值域切成有限层并使用“有限个指数项中最强者胜出”。去向：Gibbs variational principle（Gibbs 变分原理）、配分函数与自由能、指数倾斜后的新率函数、Gärtner–Ellis 对偶、随机图自由能和相变。

本期是三日 anchor micro-arc 的 Day 3。Day 1 说明指定均值的概率代价由 Legendre 对偶给出；Day 2 说明指定经验分布的概率代价是相对熵；Day 3 则把所有候选分布同时指数加权，得到

$$\text{free energy}=sup\{\text{reward}-\text{entropy cost}\}.$$

至此“事件概率—相对熵—自由能”的对偶链闭合。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 从有限 log-sum-exp 看见主机制

先看有限个实数 $b_1,\dots ,b_m$。有

$$\underset{i}{max}{b}_i\le \frac{1}{n}\log \sum _{i=1}^m{e}^{n{b}_i}\le \underset{i}{max}{b}_i+\frac{\log m}{n}.$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log \sum _{i=1}^m{e}^{n{b}_i}=\underset{i}{max}{b}_i.\end{array}$$

这不是“较小项等于零”，而是它们相对最大项只有 $e^{-nc}$ 级贡献，有限求和不能改变主指数。若 $Z_n$ 取值在有限集，且

$$\mathbb{P}(Z_n=x)\approx e^{-a_{n}I(x)},$$

则

$$\mathbb{E}{e}^{a_{n}F(Z_n)}=\sum _x{e}^{a_{n}F(x)}\mathbb{P}(Z_n=x)\approx \sum _x{e}^{a_n(F(x)-I(x))},$$

由 (1) 自然得到 (V)。一般空间的困难仅在于：状态不可数、概率只有集合级上下界，而且必须控制尾部。LDP 的拓扑语言恰好提供所需替代物。

1.2 Varadhan 引理：完整假设与量词

定义回顾。 设 $E$ 为 Polish 空间，$a_n>0$ 且 $a_n\to \mathrm{\infty }$。概率测度 ${\mu }_n$ 以速度 $a_n$、率函数 $I:E\to [0,\mathrm{\infty }]$ 满足大偏差原理，是指 $I$ 下半连续，并且

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rlrl}& \mathrm{\forall }C\subset E\text{ closed},& & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{a_n}\log {\mu }_n(C)\le -\underset{x\in C}{inf}I(x),\\ & \mathrm{\forall }O\subset E\text{ open},& & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\frac{1}{a_n}\log {\mu }_n(O)\ge -\underset{x\in O}{inf}I(x).\end{array}\end{array}$$

若进一步

$$\mathrm{\forall }L<\mathrm{\infty },\{x\in E:I(x)\le L\}\text{ is compact},$$

则称 $I$ 是 good rate function（好率函数）。

定理（Varadhan integral lemma，有界连续版）。 设 $E$ 是 Polish 空间，$a_n\to \mathrm{\infty }$，$Z_n$ 的分布 ${\mu }_n$ 以速度 $a_n$ 和好率函数 $I$ 满足 (2)。则对每个有界连续函数 $F:E\to \mathbb{R}$，

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \boxed{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{a_n}\log \mathbb{E}{e}^{a_{n}F(Z_n)}=\underset{x\in E}{sup}\{F(x)-I(x)\}.}}\end{array}$$

这里的有界性不是为了让公式好看：Section 4 会给出删去它后左侧无穷、右侧有限的具体反例。

1.3 证明架构：一个邻域给下界，有限分层给上界

记

$$\mathrm{\Lambda }(F):=\underset{x\in E}{sup}\{F(x)-I(x)\}.$$

下界。 固定任意 $x\in E$ 使 $I(x)<\mathrm{\infty }$，再固定 $\epsilon >0$。由 $F$ 连续，存在 $x$ 的开邻域 $O_{x,\epsilon }$，使

$$F(y)\ge F(x)-\epsilon ,y\in O_{x,\epsilon }.$$

因此

$$\mathbb{E}{e}^{a_{n}F(Z_n)}\ge e^{a_n(F(x)-\epsilon )}{\mu }_n(O_{x,\epsilon }).$$

用 (2) 的开集下界，

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\frac{1}{a_n}\log \mathbb{E}{e}^{a_{n}F(Z_n)}& \ge F(x)-\epsilon -\underset{y\in O_{x,\epsilon }}{inf}I(y)\\ & \ge F(x)-I(x)-\epsilon .\end{array}$$

先对 $x$ 取上确界，再令 $\epsilon \downarrow 0$，得到下界 $\mathrm{\Lambda }(F)$。其机制与 Sanov 下界相同：不必描述所有实现，只需保留一条足够便宜的策略。

上界。 令

$$m:=\underset{E}{inf}F,M:=\underset{E}{sup}F.$$

固定 $\delta >0$，把有界区间 $[m,M]$ 分成有限个长度不超过 $\delta$ 的闭小区间 $J_1,\dots ,J_N$，并令

$$C_k:=\{x\in E:F(x)\in J_k\}.$$

每个 $C_k$ 都闭。若 $u_k$ 是 $J_k$ 的右端点，则

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathbb{E}{e}^{a_{n}F(Z_n)}\le \sum _{k=1}^N{e}^{a_n{u}_k}{\mu }_n(C_k).\end{array}$$

有限和在 $a_n^{-1}\log$ 尺度上由最大项支配；对每项使用闭集上界，得

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{a_n}\log \mathbb{E}{e}^{a_{n}F(Z_n)}\le \underset{1\le k\le N}{max}\{u_k-\underset{x\in C_k}{inf}I(x)\}.$$

对 $x\in C_k$ 有 $u_k\le F(x)+\delta$，故右侧至多为 $\mathrm{\Lambda }(F)+\delta$。令 $\delta \downarrow 0$ 即得上界。

这解释了每项假设的角色：连续性把近似最优点扩成开邻域，也使值域切片闭合；有界性保证只需有限分层；LDP 的开集下界与闭集上界分别服务于两个方向。

1.4 把昨日的 Sanov 定理代入：Gibbs 变分公式

设有限集合 $S=\{1,\dots ,m\}$，真分布 $p=(p_1,\dots ,p_m)$ 满足 $p_i>0$。令 $X_1,X_2,\dots$ i.i.d. 服从 $p$，经验测度为

$$L_n(i)=\frac{1}{n}\mathrm{\#}\{j:X_j=i\}.$$

昨日的 Sanov 定理说明 $L_n$ 以速度 $n$ 满足 LDP，率函数是

$$D(q\parallel p)=\sum _{i=1}^m{q}_i\log \frac{q_i}{p_i}.$$

给定任意势 $V:S\to \mathbb{R}$，在概率单纯形上定义

$$F_V(q):=\sum _{i=1}^m{q}_{i}V(i).$$

它连续且有界。Varadhan 引理给出

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log \mathbb{E}\exp \{n{F}_V(L_n)\}=\underset{q\in {\mathrm{\Delta }}_m}{sup}\{\sum _i{q}_{i}V(i)-D(q\parallel p)\}.\end{array}$$

但

$$n{F}_V(L_n)=\sum _{j=1}^{n}V(X_j),$$

所以独立性使左侧对每个 $n$ 都精确等于

$$\frac{1}{n}\log {\left(\mathbb{E}{e}^{V(X_1)}\right)}^n=\log \sum _{i=1}^m{p}_i{e}^{V(i)}.$$

于是得到 Gibbs variational formula（Gibbs 变分公式）：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \boxed{{\displaystyle \log \sum _{i=1}^m{p}_i{e}^{V(i)}=\underset{q\in {\mathrm{\Delta }}_m}{sup}\{\sum _{i=1}^m{q}_{i}V(i)-D(q\parallel p)\}.}}\end{array}$$

最优分布不是猜出的。令

$$Z_V:=\sum _{i=1}^m{p}_i{e}^{V(i)},q_V(i):=\frac{p_i{e}^{V(i)}}{Z_V}.$$

对任意 $q\in {\mathrm{\Delta }}_m$，直接展开可得

$$\begin{array}{}\text{(7)}& D(q\parallel q_V)=D(q\parallel p)-\sum _i{q}_{i}V(i)+\log Z_V.\end{array}$$

因为 $D(q\parallel q_V)\ge 0$，(6) 的上确界在 $q=q_V$ 处取得；又因 $q_V(i)>0$，等号条件给出唯一性。Day 1 的 exponential tilt（指数倾斜）与 Day 2 的 information projection（信息投影），在这里成为配分函数的唯一 Gibbs optimizer（Gibbs 最优分布）。

若物理记号取能量 $H=-V$、逆温 $\beta >0$，则

$$\log \sum _i{p}_i{e}^{-\beta H(i)}=-\underset{q}{inf}\{\beta {\mathbb{E}}_{q}H+D(q\parallel p)\}.$$

“能量低”与“相对熵代价小”不能同时任意满足；自由能正是二者竞争后的最优值。

1.5 指数倾斜怎样改写率函数

回到一般 $E$。定义新的概率测度

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{d{\nu }_n^F}{d{\mu }_n}(x):=\frac{e^{a_{n}F(x)}}{Z_n(F)},Z_n(F)={\int }_E{e}^{a_{n}F}d{\mu }_n.\end{array}$$

由 (3)，

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{a_n}\log Z_n(F)=\underset{x}{sup}(F(x)-I(x))=-\underset{x}{inf}(I(x)-F(x)).$$

因此新测度下的归一化率函数是

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \boxed{{\displaystyle I_F(x)=I(x)-F(x)-\underset{y\in E}{inf}\{I(y)-F(y)\}.}}\end{array}$$

它满足 $inf{I}_F=0$。直观上，原来的代价 $I$ 被奖赏 $F$ 抵消；新典型态正是 $F-I$ 的最大点。严格证明可把 (8) 对闭集、开集分别与原 LDP 结合，或应用 exponential weighting（指数加权）版本的 Varadhan 引理。

1.6 谱系与 modern extension

经典 Laplace method（Laplace 方法）研究有限维积分

$$\int e^{nf(x)}g(x)dx$$

在 $n\to \mathrm{\infty }$ 时如何由 $f$ 的极大点主导。Michael Schilder 在小噪声 Brownian motion 的工作中，通过有限维积分逼近得到函数空间指数积分的变分公式。Varadhan 在 1966 年论文 Asymptotic Probabilities and Differential Equations 中把主对象改为概率测度本身的大偏差性质，再由此推出积分变分公式；这一步把有限维 Laplace 方法提升为可在路径空间等一般状态空间上使用的抽象原理。原始有限维机制并未被“淘汰”：最大的 reward-minus-cost 指数仍是核心；现代框架新增的是拓扑、紧性与尾部控制。

Graduate / modern extension. 若 $F$ 不再有界，上述有限分层不能直接封住高势能尾部。一种标准修复是假设

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \underset{M\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{a_n}\log \mathbb{E}\left[e^{a_{n}F(Z_n)}{\mathbf{1}}_{\{F(Z_n)\ge M\}}\right]=-\mathrm{\infty }.\end{array}$$

先对截断 $F\wedge M$ 应用有界版，再用 (10) 证明被删去的尾部在指数尺度上可忽略，便可恢复 (3)。因此“$F$ 连续”只控制局部变化，“指数尾条件”才控制无穷远；二者职责不可混同。

现代文献还常把对所有有界连续 $F$ 成立的 (3) 称为 Laplace principle（Laplace 原理）。在 Polish 空间与好率函数的标准框架中，它与闭集—开集形式的 LDP 相互对应：事件概率与指数积分不是两套平行语言，而是同一渐近结构的集合表述与函数表述。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目

设 $a<b$，$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 连续。证明 logarithmic Laplace method（对数尺度 Laplace 方法）

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log {\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x).\end{array}$$

进一步思考：若最大值在端点 $a$ 处取得，下界论证是否仍然成立？

模板识别

看到“紧集上的 $e^{nf}$ 积分，只问 $n^{-1}\log$ 极限”，应识别

$$\text{global supremum upper bound}+\text{positive-measure near-maximizer lower bound}$$

模板。此尺度不需要 Taylor 展开、二阶导数或 Gaussian 前因子；只需证明极大值附近有一块固定的正测度区域，而所有长度、常数前因子取对数再除以 $n$ 后消失。

分级提示

1. 由紧致性与连续性，先取 $x_{\ast }\in [a,b]$ 使 $f(x_{\ast })=M:=maxf$。
2. 上界直接使用 $f(x)\le M$，把积分控制为 $(b-a)e^{nM}$。
3. 对任意 $\epsilon >0$，由连续性找一个与 $[a,b]$ 相交后长度为 ${\ell }_{\epsilon }>0$ 的邻域，使其中 $f\ge M-\epsilon$。
4. 用该邻域得到 ${\ell }_{\epsilon }{e}^{n(M-\epsilon )}$ 的下界；先令 $n\to \mathrm{\infty }$，再令 $\epsilon \downarrow 0$。端点情形只需使用单侧邻域。

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

人物与语境。 组合学家 Gil Kalai 在个人博客 Combinatorics and more 的 2026-09-03 文章中，报告了一份声称解决 Kozma–Nitzan 一般图渗流猜想、并附 Lean 验证的 AI 文档。该猜想若成立，将推出临界概率处不存在无穷渗流簇的结论；本期不据博客报告判定这份证明已经通过数学共同体核验，而只考察 Kalai 对猜想强度与证据状态的第一人称措辞。下列两句已在原文逐字核对。

核验短引（原文）：

“Their conjecture was so general that many of us expected a counterexample to be discovered before long.”

“If verified, this is a remarkable breakthrough.”

中文翻译：

“他们的猜想如此一般，以至于我们许多人原本预期不久便会发现反例。”

“若经核验，这将是一项非凡的突破。”

评论。 第一处判断在校准 conjecture strength（猜想强度）：命题越一般，潜在反例的空间通常越大，因而“统一性强”既意味着高杠杆，也意味着高风险。第二处的 if verified 则把 generation（生成）与 acceptance（接受）分开：文档、形式化伴随物和令人惊讶的结论构成强烈证据线索，却不自动消除定义对齐、依赖审计与独立复核。

这与今日定理形成一种方法论上的弱耦合。Varadhan 公式很统一，但其正确性仍被精确限制在“LDP、连续势、适当有界或指数尾控制”之内；Section 4 的临界 Gaussian 反例正是在做边界审计。一般性本身不是证明，形式化外观也不是最终接受。宜以条件式语言保留证据状态：验讫而后信，未验则明言未验。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

无界连续势可以让右侧有限、左侧直接发散

令 $X\sim N(0,1)$，并定义

$$Z_n:=\frac{X}{\sqrt{n}}.$$

则 $Z_n\sim N(0,1/n)$，其分布以速度 $n$ 满足 LDP，率函数为

$$I(x)=\frac{x^2}{2}.$$

现在删去 Varadhan 引理中“$F$ 有界”的假设，取连续但无界的临界二次势

$$F(x):=\frac{x^2}{2}.$$

逐项核验：

1. $F$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，但不有界。
2. 变分侧完全有限：
   $$\underset{x\in \mathbb{R}}{sup}\{F(x)-I(x)\}=\underset{x\in \mathbb{R}}{sup}0=0.$$
3. 指数积分侧却对每个 $n$ 都发散：
   $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{e}^{nF(Z_n)}& =\mathbb{E}\exp \left\{\frac{n}{2}\frac{X^2}{n}\right\}\\ & =\mathbb{E}{e}^{X^2/2}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{x^2/2}{e}^{-x^2/2}dx\\ & =\mathrm{\infty }.\end{array}$$
4. 因而
   $$\frac{1}{n}\log \mathbb{E}{e}^{nF(Z_n)}=+\mathrm{\infty }$$
   与右侧的 $0$ 不相等。

此例暴露的边界很精确：对每个固定 $x$，Gaussian 大偏差代价 $I(x)$ 恰被势函数奖赏 $F(x)$ 抵消；但状态空间无界，无穷多个远处区域累积出无限积分。逐点比较 $F-I$ 不足以控制尾部总质量。

同时，$Z_n\to 0$ in probability，故普通大数型信息只会给 $F(Z_n)\to 0$ in probability；它完全看不见 $e^{nF(Z_n)}$ 的不可积性。这说明从概率收敛跨到指数期望，必须另付 exponential integrability（指数可积性）的代价。条件 (10) 正是修复此失效的尾部门槛。

作为对照，若取 $F_c(x)=c{x}^2$ 且 $0\le c<1/2$，则

$$\mathbb{E}{e}^{n{F}_c(Z_n)}=\mathbb{E}{e}^{c{X}^2}=(1-2c{)}^{-1/2}<\mathrm{\infty },$$

从而左侧极限为 $0$；右侧

$$\underset{x}{sup}\{c{x}^2-\frac{x^2}{2}\}=0.$$

临界值 $c=1/2$ 正是积分从有限跃迁到发散的边界。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 设 $E$ 是紧致度量空间，$I:E\to [0,\mathrm{\infty }]$ 下半连续且 $\underset{E}{inf}I=0$，$F:E\to \mathbb{R}$ 连续。对 $\beta \in \mathbb{R}$ 定义 free-energy curve（自由能曲线）

$$\varphi (\beta ):=\underset{x\in E}{sup}\{\beta F(x)-I(x)\},$$

并记极大点集

$${\mathcal{M}}_{\beta }:=\underset{x\in E}{\mathrm{argmax}}\{\beta F(x)-I(x)\}.$$

尝试证明或辨析：

1. 为什么 ${\mathcal{M}}_{\beta }$ 非空且紧？
2. 为什么 $\varphi$ 必为凸函数？
3. 是否有
   $${\varphi }_{+}^{\prime }(\beta )=\underset{x\in {\mathcal{M}}_{\beta }}{max}F(x),{\varphi }_{-}^{\prime }(\beta )=\underset{x\in {\mathcal{M}}_{\beta }}{min}F(x)?$$
4. 若 ${\mathcal{M}}_{\beta }$ 中所有点的 $F$ 值相同，能否推出 $\varphi$ 在 $\beta$ 处可微？反过来怎样？
5. 为什么两个具有不同 $F$ 值的最优宏观态并存，会表现为自由能的不可微点，并可解释为 first-order phase transition（一阶相变）的变分原型？

方向提示。 对每个固定 $x$，$\beta \mapsto \beta F(x)-I(x)$ 是仿射函数；$\varphi$ 是这些仿射函数的上确界。比较 $\varphi (\beta +h)$ 与任意 $x\in {\mathcal{M}}_{\beta }$，再从 ${\mathcal{M}}_{\beta +h}$ 选择极大点并利用紧性取收敛子列。不要先假设极大点唯一。

数学地图。

$$\begin{array}{c}\text{有限 log-sum-exp、连续函数、LDP 闭开集界}\\ \downarrow \\ \text{Varadhan：指数积分 }⟷sup(F-I)\\ \swarrow \searrow \\ \text{Sanov}+\text{线性势}\text{指数加权测度}\\ \downarrow \downarrow \\ \text{Gibbs 变分公式}{I}_F=I-F-inf(I-F)\\ \searrow \swarrow \\ \text{配分函数、自由能、最优宏观态}\\ \swarrow \searrow \\ \text{Gärtner--Ellis 与凸对偶}\text{不可微自由能与相变}\\ \downarrow \\ \text{随机图变分问题、统计力学、路径空间与控制}\\ \downarrow \\ \text{log-sum-exp 的 max-plus / tropical 极限}\end{array}$$

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

模板：global supremum upper bound + positive-measure near-maximizer lower bound（全局上确界上界 + 近极大点正测度下界）。

由 $[a,b]$ 紧且 $f$ 连续，Weierstrass 定理保证存在 $x_{\ast }\in [a,b]$，使

$$M:=f(x_{\ast })=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x).$$

先证上界。对所有 $x\in [a,b]$，$f(x)\le M$，故

$${\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx\le (b-a)e^{nM}.$$

取对数并除以 $n$，得到

$$\frac{1}{n}\log {\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx\le M+\frac{\log (b-a)}{n}.$$

即使 $b-a<1$，右端第二项为负也没有问题；令 $n\to \mathrm{\infty }$ 得

$$\begin{array}{}\text{(A1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{n}\log {\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx\le M.\end{array}$$

再证下界。任取 $\epsilon >0$。由 $f$ 在 $x_{\ast }$ 连续，存在 $r_{\epsilon }>0$，使得

$$x\in [a,b],|x-x_{\ast }|<r_{\epsilon }⟹f(x)>M-\epsilon .$$

令

$$A_{\epsilon }:=[a,b]\cap (x_{\ast }-r_{\epsilon },x_{\ast }+r_{\epsilon }).$$

它的 Lebesgue 长度

$${\ell }_{\epsilon }:=|A_{\epsilon }|$$

严格为正。若 $x_{\ast }=a$ 或 $x_{\ast }=b$，$A_{\epsilon }$ 只是单侧小区间，但长度仍为正；因此端点极大值不造成缺口。

在 $A_{\epsilon }$ 上，$f(x)>M-\epsilon$，所以

$${\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx\ge {\int }_{A_{\epsilon }}{e}^{nf(x)}dx\ge {\ell }_{\epsilon }{e}^{n(M-\epsilon )}.$$

于是

$$\frac{1}{n}\log {\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx\ge M-\epsilon +\frac{\log {\ell }_{\epsilon }}{n}.$$

令 $n\to \mathrm{\infty }$，得到

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\frac{1}{n}\log {\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx\ge M-\epsilon .$$

由于 $\epsilon >0$ 任意，

$$\begin{array}{}\text{(A2)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\frac{1}{n}\log {\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx\ge M.\end{array}$$

合并 (A1) 与 (A2)，

$$\boxed{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log {\int }_a^b{e}^{nf(x)}dx=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x).}}$$

这个模板只读取主指数。若还要计算 $n^{-1/2}$ 等前因子，就必须加入极大点唯一性、二阶可微性和负二阶导数等更强局部假设；这些都不是本题对数尺度结论所必需的。

资料与来源 (Sources)

1. S. R. S. Varadhan, “Large Deviations”, The Annals of Probability 36(2), 2008, 397–419, DOI 10.1214/07-AOP348；基于 2005 IMS Wald Lectures。第 2 节明确给出：LDP 在有界连续 $F$ 下把指数积分送到 $sup(F-I)$，并讨论生成函数与率函数的对偶。
   https://arxiv.org/pdf/0804.2330

2. J. M. Swart, “Large Deviation Theory”, lecture notes, version dated 2023-03-08, §§1.2–1.5，尤其 Lemma 1.14（Varadhan’s lemma）及 exponential weighting。用于核对 Polish 空间、好率函数、速度 $a_n$、势函数假设和倾斜后率函数。
   https://staff.utia.cas.cz/swart/lecture_notes/LDP23_03_08.pdf

3. S. R. S. Varadhan, “Asymptotic Probabilities and Differential Equations”, Communications on Pure and Applied Mathematics 19(3), August 1966, 261–286, DOI 10.1002/cpa.3160190303。Wiley 书目页用于核对作者、卷期、页码、首发时间与 DOI；本期谱系所述的一般概率测度框架亦由 Varadhan 的 2008 回顾和访谈交叉说明。
   https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160190303

4. S. R. Srinivasa Varadhan, interviewed by Sudhir Rao and R. Mohan, “A Large Deviation From the Ordinary”, Bhāvanā, Volume 1, Issue 4, October 2017。用于核对 Varadhan 对 Schilder 有限维逼近及其 1966 年论文抽象目标的第一人称回顾；本期未从该文直接引语。
   https://bhavana.org.in/large-deviations-srs-varadhan/

5. Daniel W. Stroock, “Large Deviations”, Celebratio Mathematica profile essay on S. R. Srinivasa Varadhan。用于交叉核对从 LDP 到 Varadhan 引理、凸对偶和函数空间应用的历史位置；这是二手学术评述，不是 Section 3 引语来源。
   https://celebratio.org/Varadhan_SRS/article/115/

6. Gil Kalai, “Amazing: There is no Percolation at the Critical Probability in all Dimensions. (Solved by AI via a conjecture of Gady Kozma and Shahaf Nitzan.)”, Combinatorics and more, 2026-09-03。Section 3 的第一人称短引来源；正文以 “If verified” 明确保留核验条件，本期亦不把标题或博客报告当作定理已获独立确认的证据。
   https://gilkalai.wordpress.com/2026/09/03/amazing-there-is-no-percolation-at-the-critical-probability-in-all-dimensions-solved-by-ai-via-a-conjecture-of-gady-kozma-and-shahaf-nitzan