2026-08-26 · 用有限穿越消灭无限振荡

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 2026-07-31 的主题是：在随机时刻取样后，鞅的“公平性”何时仍可保留。那是时间轴上的局部一致性；今天追问另一件事：若信息不断增加，整条无限路径 $(X_n(\omega ){)}_{n\ge 0}$ 是否会稳定到一个有限值？

仅知道 $\mathbb{E}{X}_n$ 不变或单调，显然不能逐路径禁止振荡。关键改写是：一个实数序列若不收敛，则它的下极限与上极限之间存在某个有理区间 $[a,b]$，而序列会从 $a$ 以下跑到 $b$ 以上无穷多次。于是“收敛”被转译成一族可计数的穿越事件。

对象与量词分为五层：

1. 概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 与滤过 $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 描述样本与逐步增长的信息；
2. 次鞅 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 在每个时刻都是可积、适应的随机变量；
3. 对每个确定的 $a<b$ 与时域 $N$，随机变量 $U_N(a,b)$ 逐路径计数完成的上穿；
4. 先证明对每个有理对 $a<b$，$U_{\mathrm{\infty }}(a,b)<\mathrm{\infty }$ 几乎必然；
5. 再对可数集合 $\{(a,b)\in {\mathbb{Q}}^2:a<b\}$ 取概率一事件的交，得到几乎每条路径同时不再跨越任何有理裂隙。

前置知识是条件期望、次鞅、条件 Jensen 不等式、单调收敛定理与 Fatou 引理。主导 proof engines 是：正部截断把一般区间移到非负过程；可预测持仓把每次上穿变成至少 $b-a$ 的收益；有理数稠密性把所有可能的振荡压成可数检查。

本期是三日 anchor micro-arc“鞅收敛”的第 1 日。它对 2026-07-31 的数学增量不是再次讨论可选停止，而是从“随机取样是否保均值”转向“无限信息流是否产生路径极限”。后续可进入 Doob 最大不等式、$L^p$ 收敛，以及条件期望鞅的 Lévy 向上定理。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 从条件漂移到路径穿越

定义（submartingale，次鞅）。 设 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间，且 $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 满足

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,{\mathcal{F}}_n\subseteq {\mathcal{F}}_{n+1}\subseteq \mathcal{F}.$$

实值过程 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 称为关于 $({\mathcal{F}}_n)$ 的次鞅，当且仅当

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,X_n:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}\text{ 是 }{\mathcal{F}}_n\text{-可测的},\mathbb{E}|X_n|<\mathrm{\infty },$$

并且

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,\mathbb{E}[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]\ge X_n\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

鞅对应等号；上鞅 (supermartingale) 对应反向不等号。次鞅允许正的条件漂移，但这还没有解释为何它不能永远上下震荡。

定义（completed upcrossings，完成上穿）。 固定 $a<b$ 与 $N\in {\mathbb{N}}_0$。对每个 $\omega \in \mathrm{\Omega }$，令 $U_N(a,b)(\omega )$ 为满足下述条件的最大整数 $k\ge 0$：存在整数时刻

$$0\le s_1<t_1<s_2<t_2<\cdots <s_k<t_k\le N,$$

使得对每个 $1\le i\le k$，

$$X_{s_i}(\omega )\le a,X_{t_i}(\omega )\ge b.$$

每个下标 $i$ 表示一次独立出现的“先在 $a$ 以下、后到 $b$ 以上”；即使两段路径形状相同，它们也由不同的时刻对 $(s_i,t_i)$ 计数。令

$$U_{\mathrm{\infty }}(a,b)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{U}_N(a,b)\in {\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\},$$

其中极限存在，因为 $U_N(a,b)$ 随 $N$ 单调不减。

1.2 Doob 上穿不等式

定理（Doob upcrossing inequality，Doob 上穿不等式）。 设 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 为实值次鞅。则对所有 $a,b\in \mathbb{R}$ 与 $N\in {\mathbb{N}}_0$，若 $a<b$，都有

$$(b-a)\mathbb{E}[U_N(a,b)]\le \mathbb{E}[(X_N-a{)}^{+}],$$

其中 $x^{+}=max\{x,0\}$。

为什么出现正部。 令

$$Y_n=(X_n-a{)}^{+}.$$

函数 $\phi (x)=(x-a{)}^{+}$ 既凸又单调不减。条件 Jensen 不等式和次鞅条件依次给出

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]& \ge {(\mathbb{E}[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]-a)}^{+}\\ & \ge (X_n-a{)}^{+}=Y_n.\end{array}$$

故 $(Y_n)$ 仍是非负次鞅。对原过程从 $a$ 到 $b$ 的一次完成上穿，正好给 $Y$ 带来一次从 $0$ 到至少 $b-a$ 的上升。

证明架构：把上穿变成可预测交易。 在时刻 $n-1$ 看见 $X_{n-1}\le a$ 且当前没有持仓时买入；第一次看见 $X_{n-1}\ge b$ 后，从下一增量起停止持有，直至下一次买入。由此得到取值于 $\{0,1\}$ 的可预测过程 $(H_n{)}_{1\le n\le N}$：$H_n$ 对 ${\mathcal{F}}_{n-1}$ 可测，并指示是否持有第 $n$ 个增量 $Y_n-Y_{n-1}$。

令交易收益

$$G_N=\sum _{n=1}^N{H}_n(Y_n-Y_{n-1}).$$

每次完成上穿贡献至少 $b-a$；最后若只有买入而尚未卖出，因为买入时 $Y=0$ 且始终 $Y_N\ge 0$，未完成段不会产生负贡献。因此逐路径有

$$G_N\ge (b-a)U_N(a,b).$$

另一方面，$1-H_n$ 也是非负、有界且可预测的。次鞅的每个条件增量满足

$$\mathbb{E}[Y_n-Y_{n-1}\mid {\mathcal{F}}_{n-1}]\ge 0,$$

故

$$\mathbb{E}[\sum _{n=1}^N(1-H_n)(Y_n-Y_{n-1})]\ge 0.$$

把总增量拆成持仓与未持仓两部分，得到

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{G}_N& \le \mathbb{E}[Y_N-Y_0]\\ & \le \mathbb{E}{Y}_N=\mathbb{E}[(X_N-a{)}^{+}].\end{array}$$

与逐路径收益下界合并，即得上穿不等式。

这解释了假设的来源：适应性使过程值在当时可见；可预测性禁止使用未来决定是否持有某个增量；次鞅不等式保证未持仓部分的期望增量非负；正部截断确保未完成交易不造成负尾项。

1.3 从有限上穿到几乎处处收敛

定理（Doob forward convergence theorem，离散次鞅前向收敛定理）。 设 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 为实值次鞅，并假设存在有限常数

$$C:=\underset{n\ge 0}{sup}\mathbb{E}[X_n^{+}]<\mathrm{\infty }.$$

则存在 $X_{\mathrm{\infty }}\in L^1(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$，使得

$$\mathbb{P}\left(\{\omega :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n(\omega )=X_{\mathrm{\infty }}(\omega )\}\right)=1.$$

证明第一步：每个有理区间只被上穿有限次。 固定 $a<b$。由

$$(X_N-a{)}^{+}\le X_N^{+}+|a|$$

和上穿不等式，

$$\underset{N\ge 0}{sup}\mathbb{E}[U_N(a,b)]\le \frac{C+|a|}{b-a}<\mathrm{\infty }.$$

因为 $U_N(a,b)\uparrow U_{\mathrm{\infty }}(a,b)$，单调收敛定理给出

$$\mathbb{E}[U_{\mathrm{\infty }}(a,b)]\le \frac{C+|a|}{b-a}<\mathrm{\infty }.$$

非负扩展值随机变量若以正概率等于 $\mathrm{\infty }$，其期望必为 $\mathrm{\infty }$；故

$$\mathbb{P}(U_{\mathrm{\infty }}(a,b)<\mathrm{\infty })=1.$$

证明第二步：可数稠密性排除全部振荡。 有理对 $(a,b)\in {\mathbb{Q}}^2$ 且 $a<b$ 只有可数多个。因此存在概率一事件 ${\mathrm{\Omega }}_0$，使得每个 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_0$ 对所有这样的有理对都只有有限次上穿。若某条路径满足

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{X}_n(\omega )<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{X}_n(\omega ),$$

则可在两者之间选取有理数 $a<b$，并递归构造无穷多次从 $a$ 以下到 $b$ 以上的穿越，矛盾。故每条 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_0$ 上，$X_n(\omega )$ 在扩展实数中有极限。

证明第三步：排除无穷极限并得到可积性。 次鞅性质蕴含

$$\mathbb{E}{X}_n\ge \mathbb{E}{X}_0.$$

又因 $X_n=X_n^{+}-X_n^{-}$，

$$\mathbb{E}{X}_n^{-}=\mathbb{E}{X}_n^{+}-\mathbb{E}{X}_n\le C-\mathbb{E}{X}_0.$$

所以

$$\underset{n\ge 0}{sup}\mathbb{E}|X_n|\le 2C-\mathbb{E}{X}_0<\mathrm{\infty }.$$

令扩展实数极限为 $X_{\mathrm{\infty }}$。由 Fatou 引理，

$$\mathbb{E}|X_{\mathrm{\infty }}|\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\mathbb{E}|X_n|<\mathrm{\infty }.$$

因此 $X_{\mathrm{\infty }}$ 几乎处处有限且可积，定理得证。

直接推论。 若 $(Z_n)$ 是非负上鞅，则 $(-Z_n)$ 是次鞅且 $(-Z_n{)}^{+}=0$，所以 $Z_n$ 几乎处处收敛到某个有限、非负且可积的 $Z_{\mathrm{\infty }}$。

1.4 Graduate / modern extension：几乎处处极限不是 $L^1$ 极限

前向收敛定理只承诺

$$X_n\to X_{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

它不承诺 $\mathbb{E}|X_n-X_{\mathrm{\infty }}|\to 0$。若随机变量族 $\{X_n:n\ge 0\}$ 一致可积 (uniformly integrable)，则由 Vitali 收敛机制，几乎处处收敛可升级为

$$X_n⟶X_{\mathrm{\infty }}\text{in }{L}^1.$$

对一致可积鞅还有更强的“闭鞅”结构：若 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}=\sigma (\bigcup _n{\mathcal{F}}_n)$，则

$$X_n=\mathbb{E}[X_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n]\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

现代形式化库把这两道门分开陈述：$L^1$ 有界次鞅得到几乎处处极限；一致可积次鞅才得到 $L^1$ 极限。Section 4 将给出不能混淆二者的最小反例。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目。 设 $(x_n{)}_{n\ge 0}$ 为实数序列。对 $a<b$，定义 $U_{\mathrm{\infty }}(a,b)$ 为满足

$$s_1<t_1<s_2<t_2<\cdots <s_k<t_k,x_{s_i}\le a,x_{t_i}\ge b$$

的时刻对所能形成的最大数量，允许其值为 $\mathrm{\infty }$。证明：$(x_n)$ 在扩展实数 $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ 中收敛，当且仅当

$$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q},a<b⟹U_{\mathrm{\infty }}(a,b)<\mathrm{\infty }.$$

模板识别。 当题目要求把“序列不收敛”变成可数个可检测事件时，应立刻查看 $lim inf{x}_n$ 与 $lim sup{x}_n$ 是否留下开区间，再用 $\mathbb{Q}$ 的稠密性选取分隔阈值。反向证明的信号是：若某个固定宽度的区间被完成上穿无穷次，则序列不可能趋于有限值或正负无穷。

分级提示。

1. 若 $x_n\to L\in \mathbb{R}$，对固定 $a<b$，分别讨论 $L<a$、$L>b$ 与 $a\le L\le b$，但尽量寻找一个统一的“尾部不能再完成整段穿越”论证。
2. 若 $x_n\to +\mathrm{\infty }$，尾部还能否重新回到 $a$ 以下？若 $x_n\to -\mathrm{\infty }$，尾部还能否到达 $b$ 以上？
3. 反之，若序列在扩展实数中不收敛，证明
   $$\ell :=lim inf{x}_n<u:=lim sup{x}_n.$$
   在 $(\ell ,u)$ 内选取有理数 $a<b$。
4. 用“低于 $a$ 的项与高于 $b$ 的项都出现无穷多次”递归选择 $s_1<t_1<s_2<t_2<\cdots$。

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

Terence Tao 在个人博客 What's new 于 2023 年 6 月 4 日发表 Inequalities, convergence, and continuity as “special deals”，尝试用“购买精度”和会员奖励层级解释分析中的不等式、收敛与连续性。他写道：

With this conceptual model, convergence means that any status level of accuracy can be unlocked if one’s number $n$ of “points earned” is high enough.

在这个概念模型中，收敛意味着：无论要求哪一级精度，只要累积的“点数” $n$ 足够高，就能解锁它。

英文引文逐字核对自 Tao 本人维护的文章页面；中文为本刊翻译。

这个比喻准确保存了普通收敛的量词顺序：

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0=n_0(\epsilon ),\mathrm{\forall }n\ge n_0,|x_n-x|<\epsilon .$$

精度等级 $\epsilon$ 先由使用者任意指定，资格门槛 $n_0$ 才随之选择；达到门槛后，所有更高点数 $n$ 都必须持续享受该精度，而不是偶尔命中一次。今天的上穿法从另一侧执行同一纪律：若路径不收敛，就存在一个固定宽度 $b-a>0$ 的精度裂隙，被尾部反复跨越。Doob 不等式证明这种反复跨越在解析假设下几乎必然只能发生有限次。Tao 的比喻负责显露量词结构；上穿计数则把它变成可估计的随机变量。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

这里有两道不同的边界：第一道决定有限极限是否存在；第二道决定几乎处处收敛能否升级为 $L^1$ 收敛。

4.1 删除正部期望有界：次鞅可以直接逃向无穷

取任意概率空间与任意滤过，令

$$X_n(\omega )=n.$$

逐项检查：

1. $X_n$ 是常数随机变量，故对 ${\mathcal{F}}_n$ 可测且可积；
2. 对每个 $n$，
   $$\mathbb{E}[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=n+1\ge n=X_n,$$
   所以 $(X_n)$ 是次鞅；
3. 但
   $$\underset{n}{sup}\mathbb{E}[X_n^{+}]=\underset{n}{sup}n=\mathrm{\infty };$$
4. 并且 $X_n\to +\mathrm{\infty }$，不存在有限实值极限。

因此前向收敛定理中的一致期望控制不是装饰；没有它，有限极限结论立即失败。

4.2 即使 $L^1$ 有界：仍可能只有几乎处处收敛

令 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 为独立公平抛币结果，取值 $H$ 或 $T$，并令

$${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),A_n=\{{\xi }_1=\cdots ={\xi }_n=H\},$$

其中 $A_0=\mathrm{\Omega }$。定义

$$X_n=2^n{\mathbf{1}}_{A_n}.$$

检查 1：$(X_n)$ 是非负鞅。 在 $A_n$ 上，下一次抛币以概率 $1/2$ 把 $X_{n+1}$ 变为 $2^{n+1}$，以概率 $1/2$ 把它变为 $0$；在 $A_n^{\mathsf{c}}$ 上，之后恒为 $0$。所以

$$\mathbb{E}[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=2^n{\mathbf{1}}_{A_n}=X_n.$$

检查 2：它一致 $L^1$ 有界。 因为 $\mathbb{P}(A_n)=2^{-n}$，

$$\mathbb{E}|X_n|=2^n\mathbb{P}(A_n)=1.$$

检查 3：它几乎处处收敛到 $0$。 事件 $A_n$ 单调递减，而且

$$\mathbb{P}\left(\bigcap _{n\ge 0}{A}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{2}^{-n}=0.$$

除去概率为零的“永远是正面”路径，每条路径都在第一次出现反面后令 $X_n$ 永久归零。因此

$$X_n\to 0\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

检查 4：它不在 $L^1$ 中收敛到 $0$。 对所有 $n$，

$$\mathbb{E}|X_n-0|=1,$$

故 $L^1$ 距离根本不趋于零。

检查 5：缺失条件正是一致可积性。 给定任意 $K>0$，选取 $n$ 使 $2^n>K$，则

$$\mathbb{E}[|X_n|{\mathbf{1}}_{\{|X_n|>K\}}]=1.$$

所以

$$\underset{K\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n}{sup}\mathbb{E}[|X_n|{\mathbf{1}}_{\{|X_n|>K\}}]\ne 0.$$

这条鞅把恒定的平均质量压进越来越高、越来越窄的尖峰：逐点看，尖峰最终消失；积分看，全部质量始终还在。它精确暴露了“几乎处处收敛 $\nRightarrow L^1$ 收敛”的边界。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 设 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 是非负鞅，且由前向收敛定理有 $X_n\to X_{\mathrm{\infty }}$ 几乎处处。Fatou 引理给出

$$\mathbb{E}{X}_{\mathrm{\infty }}\le \mathbb{E}{X}_0.$$

请证明或反驳下面的等价关系：

$$\mathbb{E}{X}_{\mathrm{\infty }}=\mathbb{E}{X}_0⟺X_n\to X_{\mathrm{\infty }}\text{ in }{L}^1⟺\{X_n:n\ge 0\}\text{ 一致可积}.$$

进一步解释 Section 4 的加倍鞅中，严格不等式

$$\mathbb{E}{X}_{\mathrm{\infty }}<\mathbb{E}{X}_0$$

究竟把哪一部分质量“丢在了无穷远”。

方向提示。 不要从抽象定义硬推。先利用非负性比较 $\mathbb{E}{X}_n$ 与 $\mathbb{E}{X}_{\mathrm{\infty }}$，再回忆“几乎处处收敛且积分收敛”何时能推出 $L^1$ 收敛；另一方向则检查 $L^1$ 收敛序列的尾部能否一致控制。保留对等价关系中每个箭头的独立证明。

数学地图。

$$\begin{array}{c}\text{条件期望与滤过}\\ \downarrow \\ \text{鞅、次鞅与可预测增量}\\ \downarrow \\ \text{Doob 上穿不等式}\\ \downarrow \\ \text{几乎处处鞅收敛}\\ \downarrow \searrow \\ \text{一致可积与 }{L}^1\text{ 收敛}\text{Doob 最大不等式与 }{L}^p\text{ 收敛}\\ \downarrow \\ \text{Lévy 向上定理、闭鞅、尾 }\sigma \text{-代数}\\ \downarrow \\ \text{随机图揭示鞅、集中不等式、随机分析}\end{array}$$

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

可复用模板：用 $lim inf$–$lim sup$ 裂隙选择稠密阈值，再递归构造穿越时刻。

我们证明两个方向。

方向一：扩展实数收敛推出每个有理区间只有有限次上穿

固定 $a<b$。

若 $x_n\to L\in \mathbb{R}$，取

$$\epsilon =\frac{b-a}{3}>0.$$

存在 $n_0=n_0(\epsilon )$，使得对所有 $n\ge n_0$，

$$|x_n-L|<\epsilon .$$

尾部区间 $(L-\epsilon ,L+\epsilon )$ 的长度为 $2\epsilon <b-a$，因而不可能同时含有某个不大于 $a$ 的值与某个不小于 $b$ 的值。故任何完成上穿至少有一个端点早于 $n_0$；严格递增的时刻链中只有有限多个这样的端点，所以 $U_{\mathrm{\infty }}(a,b)<\mathrm{\infty }$。

若 $x_n\to +\mathrm{\infty }$，则存在 $n_0=n_0(a)$，使

$$\mathrm{\forall }n\ge n_0,x_n>a.$$

此后不能再开始新的上穿，故上穿次数有限。

若 $x_n\to -\mathrm{\infty }$，则存在 $n_0=n_0(b)$，使

$$\mathrm{\forall }n\ge n_0,x_n<b.$$

此后不能再完成新的上穿，故上穿次数有限。

因此，只要 $(x_n)$ 在 $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ 中收敛，对所有实数、特别是所有有理数 $a<b$，都有 $U_{\mathrm{\infty }}(a,b)<\mathrm{\infty }$。

方向二：所有有理区间上穿有限推出扩展实数收敛

反设 $(x_n)$ 在扩展实数中不收敛。令

$$\ell =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n,r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n,$$

其中 $\ell ,r\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$。扩展实数序列收敛当且仅当 $\ell =r$，故反设给出

$$\ell <r.$$

由 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密，即使端点之一为无穷，也可选择有限有理数

$$\ell <a<b<r.$$

由 $\ell <a$，对每个 $N$ 都存在 $n\ge N$ 使 $x_n\le a$；否则从某处起恒有 $x_n>a$，将推出 $lim inf{x}_n\ge a$。同理，由 $b<r$，对每个 $N$ 都存在 $n\ge N$ 使 $x_n\ge b$。

现在递归选取时刻。先选 $s_1$ 使 $x_{s_1}\le a$；再在 $s_1$ 之后选 $t_1$ 使 $x_{t_1}\ge b$。若已经选好 $t_k$，就在 $t_k$ 之后选 $s_{k+1}$ 使 $x_{s_{k+1}}\le a$，再在 $s_{k+1}$ 之后选 $t_{k+1}$ 使 $x_{t_{k+1}}\ge b$。于是得到

$$s_1<t_1<s_2<t_2<\cdots ,$$

且对每个 $k$，

$$x_{s_k}\le a,x_{t_k}\ge b.$$

所以 $U_{\mathrm{\infty }}(a,b)=\mathrm{\infty }$，与题设对所有有理 $a<b$ 的有限性矛盾。

因此 $(x_n)$ 必在扩展实数中收敛。

资料与来源 (Sources)

1. Lean mathematical library (mathlib), Mathlib.Probability.Martingale.Upcrossing. 页面给出离散实值次鞅的 Doob 上穿估计、穿越时刻定义与可预测过程证明架构；本期 Section 1 的不等式形式与证明依赖链据此核验。https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.html
2. Lean mathematical library (mathlib), Mathlib.Probability.Martingale.Convergence. 页面区分 $L^1$ 有界次鞅的几乎处处收敛与一致可积次鞅的 $L^1$ 收敛，并记录 Lévy 向上定理及闭鞅结论；用于核验 Section 1.3–1.4 的现代陈述。https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.html
3. Terence Tao, “Inequalities, convergence, and continuity as ‘special deals’,” What's new, 4 June 2023. Section 3 的英文引文与发布日期逐字核对自 Tao 本人维护的文章页面。https://terrytao.wordpress.com/2023/06/04/inequalities-convergence-and-continuity-as-special-deals/