2026-08-05 · 曲率不是弯在外面

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点失败。 一张纸卷成圆柱后，在三维空间里明显“弯了”；但纸面上的长度、角度与局部最短路并未改变。若把曲率定义成“看起来偏离某个外部平面多少”，圆柱就有曲率；若几何只允许纸面内部的测量，圆柱又应当是平的。我们需要一种 intrinsic curvature（内蕴曲率）：它只依赖空间自身的测量规则，不依赖空间嵌入在哪里。

对象与量词层。 固定一个光滑 $n$ 维流形 $M$ 与 Riemannian metric（Riemann 度量）$g$。点态层中，每个 $p\in M$ 都有内积 $g_p$；微分层中，$g$ 唯一决定 Levi-Civita connection（Levi-Civita 联络）$\mathrm{\nabla }$；曲率层中，每个 $p$ 与每个二维子空间 $\sigma \subset T_{p}M$ 得到一个实数 $K_p(\sigma )$。小圆定理的量词写全是：

对每个光滑 Riemann 流形 $(M,g)$，每个 $p\in M$，每个二维线性子空间 $\sigma \subset T_{p}M$，都存在 $r_0=r_0(p,\sigma )>0$，使得对每个 $0<r<r_0$，由指数映射定义的测地小圆有良好定义，并满足一个当 $r\downarrow 0$ 的周长渐近式。

前置知识。 多元微积分、有限维内积空间、向量场与 Lie bracket（Lie 括号）的基本性质；正规坐标的构造作为明确标出的 graduate bridge 使用。主导 proof engines 是：Koszul 公式、联络公式中的消项、正规坐标 Taylor 展开，以及对二维切平面的极化。

位置与去向。 7 月 17 日的一期把多面曲面的曲率集中为顶点角亏，并证明总曲率恒等式；今天不是重写那一结论，而是建立它在光滑侧缺失的局部机制：

$$\text{度量 }g⟶\mathrm{\nabla }⟶R⟶K_p(\sigma )⟶\text{小圆周长偏差}.$$

这是两日 exploration micro-arc 的第 1 日。第 2 日将让曲率进入 Jacobi equation（Jacobi 方程），考察邻近测地线为何聚拢或散开。本周的 roaming issue 尚未使用；本期是普通微弧，不冒充漫游篇。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 先给空间一把随点变化的尺

定义 1（Riemann 度量）。 设 $M$ 是光滑 $n$ 维流形。Riemann 度量是一个光滑 $(0,2)$-张量场 $g$，满足

$$\mathrm{\forall }p\in M,\mathrm{\forall }u,v\in T_{p}M,g_p(u,v)=g_p(v,u),u\ne 0⟹g_p(u,u)>0.$$

因此 $g_p$ 是每个切空间上的内积，并随 $p$ 光滑变化。曲线 $\gamma :[a,b]\to M$ 的长度由

$$L_g(\gamma )={\int }_a^b\sqrt{g_{\gamma (t)}(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))}dt$$

定义。到此为止，度量能量长度，却还没有告诉我们如何比较不同点的切向量；这正是联络要补上的信息。

定义 2（Levi-Civita 联络）。 一个线性联络 $\mathrm{\nabla }$ 称为 Levi-Civita 联络，如果对所有光滑向量场 $X,Y,Z$：

1. torsion-free（无挠）： ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$；
2. metric-compatible（度量相容）：
   $$X(g(Y,Z))=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z).$$

定理 1（Riemann 几何基本定理）。 每个光滑 Riemann 流形 $(M,g)$ 都存在唯一的 Levi-Civita 联络。

为什么两条条件恰好够用。 将度量相容式作循环置换，再用无挠条件消去反对称部分，得到 Koszul formula（Koszul 公式）：

$$\begin{array}{rl}2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)=& Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)\\ & -g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y]).\end{array}$$

右侧完全由 $g$ 与 Lie 括号决定；由于 $g$ 非退化，它对每个 $Z$ 的取值唯一决定 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$，所以唯一性成立。反过来以右侧定义 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$，逐项核验联络的 Leibniz 规则、无挠性与度量相容性，即得存在性。于是后面的曲率确实只依赖 $g$，不是另加的一件任意结构。

1.2 曲率是协变微分不能交换的余项

本文固定符号约定

$$R(X,Y)Z:={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z.$$

最后一项不可删。即使在普通坐标中，二阶偏导可交换，一般向量场的流也未必交换；$-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z$ 正是把这种坐标／流的非交换剥离出去，留下联络自身的曲率。

引理 2（tensoriality，张量性）。 对每个 $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$ 与向量场 $X,Y,Z$，

$$R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z,R(X,fY)Z=fR(X,Y)Z,R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z.$$

因此对每个 $p\in M$，$R_p(u,v)w$ 只依赖 $u,v,w\in T_{p}M$，与它们怎样延拓成邻域中的向量场无关。

证明机制。 例如

$$[fX,Y]=f[X,Y]-(Yf)X.$$

把它和 ${\mathrm{\nabla }}_{fX}=f{\mathrm{\nabla }}_X$ 代入定义，${\mathrm{\nabla }}_Y(f{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$ 产生的 $-(Yf){\mathrm{\nabla }}_{X}Z$，恰与括号修正项产生的 $+(Yf){\mathrm{\nabla }}_{X}Z$ 抵消，于是第一式成立。第三式展开后，含一阶导数 $Xf,Yf$ 的交叉项相消，剩下的二阶函数项为

$$(X(Yf)-Y(Xf)-[X,Y]f)Z=0.$$

第二式同理。这些消项解释了定义中的三项为何缺一不可。

由无挠性与度量相容性还能推出

$$\begin{array}{rl}R(X,Y)& =-R(Y,X),\\ g(R(X,Y)Z,W)& =-g(R(X,Y)W,Z),\\ R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y& =0.\end{array}$$

它们分别是反对称性、度量反对称性与 first Bianchi identity（第一 Bianchi 恒等式）。

1.3 把高阶张量压到二维切平面

定义 3（sectional curvature，截面曲率）。 固定 $p\in M$ 与二维子空间 $\sigma \subset T_{p}M$。任取 $\sigma$ 的一组基 $u,v$，定义

$$K_p(\sigma ):=\frac{g_p(R_p(u,v)v,u)}{g_p(u,u)g_p(v,v)-g_p(u,v{)}^2}.$$

分母是 $u,v$ 张成的平行四边形面积的平方，因线性无关而严格为正。若换基

$$(u^{\prime },v^{\prime })=(au+bv,cu+dv),ad-bc\ne 0,$$

则由 $R$ 的上述对称性，分子与分母都乘以 $(ad-bc{)}^2$，故商不变。特别地，对 $\sigma$ 的任意正交单位基 $e_1,e_2$，

$$K_p(\sigma )=g_p(R_p(e_1,e_2)e_2,e_1).$$

这正对应 Riemann 原文中的“在给定点、给定 surface-direction（二平面方向）上的曲率”：高维空间不是每点只有一个曲率，而是每个二维方向都有一个曲率。

1.4 主定理：曲率可由小圆周长读出

固定 $p$、$\sigma$ 及其正交单位基 $e_1,e_2$。当 $r>0$ 足够小时，定义

$$C_r(t):={\exp }_p(r(\cos t{e}_1+\sin t{e}_2)),0\le t\le 2\pi ,$$

并令 $L_p^{\sigma }(r)$ 为这条闭曲线的 Riemann 周长。这里 $C_r$ 是从切空间中半径为 $r$ 的 Euclidean 圆经指数映射送到 $M$ 的 geodesic circle（测地小圆）。

定理 3（小圆周长的曲率偏差）。 对每个光滑 Riemann 流形 $(M,g)$、每个 $p\in M$ 与每个二维切平面 $\sigma \subset T_{p}M$，都有

$$\boxed{{\displaystyle L_p^{\sigma }(r)=2\pi r-\frac{\pi }{3}{K}_p(\sigma )r^3+O(r^4)(r\downarrow 0).}}$$

等价地，

$$\boxed{{\displaystyle K_p(\sigma )=\underset{r\downarrow 0}{lim}\frac{3(2\pi r-L_p^{\sigma }(r))}{\pi r^3}.}}$$

证明架构。 取以 $p$ 为中心、初始正交基含 $e_1,e_2$ 的 Riemannian normal coordinates（Riemann 正规坐标）。在这些坐标中，

$$g_{ij}(0)={\delta }_{ij},{\partial }_k{g}_{ij}(0)=0,$$

而度量的第一个非 Euclidean 项是由 $R_p$ 决定的二次项。把切空间圆

$$x(t)=r(\cos t,\sin t,0,\dots ,0)$$

及其速度代入这一二阶展开，得到一致于 $t$ 的渐近式

$$g_{x(t)}(\dot{x}(t),\dot{x}(t))=r^2-\frac{1}{3}{K}_p(\sigma )r^4+O(r^5).$$

再用

$$\sqrt{1+s}=1+\frac{s}{2}+O(s^2)$$

可得

$$\parallel {\dot{C}}_r(t){\parallel }_g=r(1-\frac{1}{6}{K}_p(\sigma )r^2+O(r^3)).$$

在 $0\le t\le 2\pi$ 上积分，即得

$$L_p^{\sigma }(r)=2\pi r-\frac{\pi }{3}{K}_p(\sigma )r^3+O(r^4).$$

假设的职责由此可见：光滑性支持正规坐标与 Taylor 展开；正定性使长度和平方根有定义；固定二维平面才让一个标量截面曲率从张量中被选出。

几何后果。 在相同半径下，$K_p(\sigma )>0$ 时小圆比平面圆短，$K_p(\sigma )<0$ 时更长；平坦情形的三阶差额为零。这里不是拿外部观察者的直尺量“弯曲高度”，而是只沿流形内部量周长。

1.5 谱系与现代延伸

Riemann 于 1854-06-10 在 Göttingen 作就职演讲 Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen；Dedekind 在 Riemann 去世后将其发表于 1867 年的 Göttingen 学会论文集。Riemann 从二次线元出发，以每个点和每个二维方向上的曲率描述度量偏离平坦性的方式。本文的 $\mathrm{\nabla }$、$R(X,Y)Z$ 与现代张量记号属于后来的系统化，不能倒写成 Riemann 原文的逐字形式。

Graduate / modern extension. 对 $R$ 作迹得到 Ricci curvature（Ricci 曲率）与 scalar curvature（标量曲率）。若 $M$ 的维数为 $n$，则以 $p$ 为中心的小测地球满足

$$\mathrm{Vol}(B(p,r))={\omega }_n{r}^n(1-\frac{\mathrm{Scal}(p)}{6(n+2)}{r}^2+O(r^3)),$$

其中 ${\omega }_n$ 是 Euclidean 单位 $n$-球体积。于是层级关系是：截面曲率控制指定二维方向的小圆偏差；Ricci 曲率汇总经过某个方向的二维截面；标量曲率再汇总所有正交二维方向，并出现在小球体积的首个曲率修正项中。下一日的 Jacobi 场会给出同一信息的动力学版本。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目

对 $x\in [0,1]$，令

$$S(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}.$$

1. 证明该函数项级数在 $[0,1]$ 上一致收敛，并说明 $S$ 连续；
2. 严格证明可以逐项积分，并计算
   $${\int }_0^{1}S(x)dx.$$

模板识别

看到“闭区间上的函数项级数 $+$ 每项易积 $+$ 要交换求和与积分”，先找与 $x$ 无关的可求和 majorant（控制项）。若能证明

$$\underset{x\in [0,1]}{sup}|f_n(x)|\le M_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\mathrm{\infty },$$

就应调用 Weierstrass M-test（Weierstrass M 判别法），再用 Riemann 积分算子关于一致范数的连续性，而不是只说“逐点收敛所以可以换序”。

分级提示

1. Hint 1. 在 $[0,1]$ 上，$|x^n/n^2|$ 的上确界是多少？
2. Hint 2. 令 $S_N(x)=\sum _{n=1}^N{x}^n/n^2$。先证明 $S_N\to S$ 一致，再使用
   $$|{\int }_0^1(S-S_N)dx|\le \parallel S-S_N{\parallel }_{\mathrm{\infty }}.$$
3. Hint 3. 逐项积分后会出现 $1/(n^2(n+1))$；尝试分解为
   $$\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}.$$

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

可核验语境。 Bernhard Riemann 的 1854 年就职演讲由 William Kingdon Clifford 译为 On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry，刊于 Nature, Vol. VIII, Nos. 183–184（1873），pp. 14–17, 36–37。Trinity College Dublin 的数学史页面同时提供德文文本与 Clifford 英译。Riemann 在讨论曲面的 intrinsic measure-relations（内蕴度量关系）时写道：[1][2]

“We may, however, abstract from external relations if we consider such deformations as leave unaltered the length of lines.”

中译。 “不过，只要考察那些保持曲线长度不变的形变，我们便可以把外部位置关系抽离出去。”

转述（paraphrase）。 紧接着，Riemann 以圆柱面和圆锥面为例：它们可由平面不经拉伸而弯成，所以在内蕴度量意义下与平面等价；球面则不能如此展开。

评论（本文解释）。 这不是“坐标不重要”的泛泛口号，而是一条可执行的筛选原则：若某个量在等距弯曲下改变，它就不是 Riemann 度量单独决定的内蕴量。今天的链条正落实了这一原则——$g$ 唯一决定 $\mathrm{\nabla }$，$\mathrm{\nabla }$ 决定 $R$，等距映射因而保持 $K$。第 4 节的圆柱会把这条原则逐项算出来。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

考察邻近但错误的命题：

“只要一个曲面在 ${\mathbb{R}}^3$ 中有非零法曲率，它的内蕴 Riemann 曲率就非零。”

具体反例：单位圆柱。 定义

$$F:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^3,F(u,v)=(\cos u,\sin u,v).$$

它覆盖单位圆柱，且因 $u$ 的 $2\pi$ 周期性而不是全局单射。逐项核验：

1. 切向量：
   $$F_u=(-\sin u,\cos u,0),F_v=(0,0,1).$$
2. 拉回度量：
   $$g_{uu}=⟨F_u,F_u⟩=1,g_{uv}=0,g_{vv}=1,$$
   所以
   $$F^{\ast }{g}_{{\mathbb{R}}^3}=d{u}^2+d{v}^2.$$
3. 内蕴联络与曲率： 在 $(u,v)$ 坐标中，$g_{ij}$ 是常数，故由 Christoffel 公式得所有 ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=0$；于是 $R\equiv 0$，每个截面曲率都为 $0$。局部矩形经 $F$ 与圆柱面片等距。
4. 外在弯曲仍非零： 取外法向
   $$N(u,v)=(\cos u,\sin u,0).$$
   因为
   $$F_{uu}=(-\cos u,-\sin u,0)=-N,$$
   第二基本形式在 $F_u$ 方向的系数为 $-1$；两个主曲率按此法向约定为 $-1$ 与 $0$。所以圆柱在环境空间中确有非零法曲率，但 Gaussian curvature（Gauss 曲率）是主曲率乘积 $0$，与内蕴 $R=0$ 相符。
5. 整体边界： “展开为平面”只在局部成立。全局上圆柱是 $S^1\times \mathbb{R}$，而平面是单连通的；周期识别 $u\sim u+2\pi$ 阻止全局等距同胚。内蕴平坦不等于全局就是 ${\mathbb{R}}^2$。

暴露的边界是：second fundamental form（第二基本形式）测量嵌入怎样弯，Riemann curvature（Riemann 曲率）测量度量自身怎样偏离局部 Euclidean 几何。 前者非零不推出后者非零。球面两者都非零，圆柱恰好把它们分开。

这也与 7 月 17 日的离散版本精确呼应：把 Euclidean 多边形沿边粘成圆柱而不在顶点引入角亏，外形可以弯曲，但内蕴曲率仍为零；有角亏时才出现离散内蕴曲率。本期的新内容则是用 $g\to \mathrm{\nabla }\to R$ 与小圆周长给出光滑判据。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 设 $V$ 是有限维实内积空间，$R$ 与 $S$ 是两个 algebraic curvature tensors（代数曲率张量）：它们具有 Riemann 曲率张量的反对称性、配对对称性与第一 Bianchi 恒等式。假设对所有线性无关 $u,v\in V$，

$$⟨R(u,v)v,u⟩=⟨S(u,v)v,u⟩.$$

你能否证明 $R=S$？换言之：为什么“所有二维平面上的截面曲率”足以恢复完整曲率张量，而不只是它的一部分？

定向提示。 令 $A=R-S$，先把已知条件延伸到所有 $u,v$；不要直接在四个任意向量上硬展开。考虑对

$$Q(u,v):=⟨A(u,v)v,u⟩$$

先在 $u$ 变量、再在 $v$ 变量做 polarization（极化），并在每一步使用曲率对称性整理交叉项。目标是从“对角型四次数据恒为零”恢复四线性型。

数学地图。

$$\begin{array}{c}\text{多元微积分、内积空间、光滑流形}\\ \Downarrow \\ \text{Riemann 度量 }g\\ \Downarrow \text{Koszul 公式}\\ \text{Levi-Civita 联络 }\mathrm{\nabla }\\ \Downarrow \text{协变导数交换子}\\ \text{曲率张量 }R\\ \Downarrow \text{二维切平面}\\ \text{截面曲率 }{K}_p(\sigma )\\ \Downarrow \\ \text{小圆周长、Jacobi 场、比较几何}\end{array}$$

横向分支有两条：对 $R$ 缩并进入 Ricci 曲率、体积比较与 Ricci flow；把曲率写成 connection forms（联络形式）并积分，则回到 Gauss–Bonnet、特征类与规范理论。离散侧的角亏和光滑侧的小圆偏差都在问同一件事：局部测量偏离平坦模型的首个不可消去项是什么？

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

可复用模板：一致可求和控制 $\Rightarrow$ Weierstrass M 判别 $\Rightarrow$ 一致极限保连续 $\Rightarrow$ 积分算子连续。

对每个 $n\ge 1$ 与 $x\in [0,1]$，

$$\left|\frac{x^n}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}.$$

而数项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-2}$ 收敛。由 Weierstrass M 判别法，

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}$$

在整个闭区间 $[0,1]$ 上一致收敛。每个部分和

$$S_N(x)=\sum _{n=1}^N\frac{x^n}{n^2}$$

都是连续函数；连续函数的一致极限仍连续，所以 $S\in C([0,1])$。

接着核验逐项积分。由一致收敛，

$$|{\int }_0^{1}S(x)dx-{\int }_0^1{S}_N(x)dx|\le {\int }_0^1|S(x)-S_N(x)|dx\le \parallel S-S_N{\parallel }_{\mathrm{\infty }}⟶0.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}S(x)dx& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{S}_N(x)dx\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}{\int }_0^1{x}^{n}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2(n+1)}.\end{array}$$

有限和中的积分与求和可以直接交换；无限换序则由上面的一致范数估计负责，而不是靠形式操作。

最后使用部分分式恒等式

$$\frac{1}{n^2(n+1)}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}.$$

于是

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2(n+1)}& =\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}+\sum _{n=1}^N(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})\\ & =\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}-1+\frac{1}{N+1}.\end{array}$$

令 $N\to \mathrm{\infty }$，并用 Basel 恒等式 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-2}={\pi }^2/6$，得到

$$\boxed{{\displaystyle {\int }_0^{1}S(x)dx=\frac{{\pi }^2}{6}-1.}}$$

边界检查：这里的一致收敛包括 $x=1$；若只有每个 $x<1$ 上的逐点收敛，就不能直接调用上述一致范数估计。

资料与来源 (Sources)

1. Bernhard Riemann, Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854-06-10 就职演讲；Richard Dedekind 编后刊于 Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Vol. 13 (1867)。Trinity College Dublin 数学史页提供德文文本及版本说明：https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom
2. Bernhard Riemann, On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry, translated by William Kingdon Clifford, Nature, Vol. VIII, Nos. 183–184 (1873), pp. 14–17, 36–37。Section 3 引文逐字核对自 Trinity College Dublin 的 HTML 英译，圆柱—平面讨论也见同页：https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/WKCGeom.html
3. Zuoqin Wang, Lecture 5: The Riemannian Connection, University of Science and Technology of China, 2016 Riemannian Geometry notes。用于核对 Levi-Civita 联络的定义、基本定理、Koszul 公式与 Christoffel 公式：http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/16S-RiemGeom/Notes/Lec05.pdf
4. Zuoqin Wang, Lecture 18: Immediate Applications of Jacobi Field to Curvature, University of Science and Technology of China, Spring 2024。用于核对正规坐标中的度量二阶展开、测地小圆周长公式及小球体积的标量曲率修正：http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/24S-RiemGeom/Notes/Lec18.pdf
5. David Lindemann, Differential Geometry, Lecture 18: Curvature, Universität Hamburg, 2020-07-14。用于核对曲率张量定义、张量性、对称性、截面曲率及平坦圆柱例：https://www.math.uni-hamburg.de/home/lindemann/material/DG2020L18_slides.pdf
6. Curtis T. McMullen, Honors Analysis: Course Notes Math 55b, Harvard University。Corollary 6.4 给出连续函数一致收敛时积分极限可交换的结论；用于 Section 2 的模板依据：https://people.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/55b/10/html/home/course/course.pdf