2026-08-06 · 让曲率推动测地线

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 昨天建立了静态链条

$$g⟶\mathrm{\nabla }⟶R⟶K,$$

并说明截面曲率可由测地小圆相对平面圆的周长偏差读出。但一个数 $K_p(\sigma )$ 还没有直接回答更具动力学意味的问题：从同一点沿两个极接近的方向出发，两条测地线随后会聚拢、平行，还是加速分离？要看见这种效应，不能只研究一条测地线，而要线性化一族测地线。

对象与量词层。 设 $(M,g)$ 是光滑 Riemann 流形，$I\subset \mathbb{R}$ 是区间，$\gamma :I\to M$ 是一条测地线。沿 $\gamma$ 的向量场不是普通映射 $I\to {\mathbb{R}}^n$，而是 pullback bundle（拉回丛）${\gamma }^{\ast }TM\to I$ 的光滑截面；其值满足 $J(t)\in T_{\gamma (t)}M$。Jacobi field（Jacobi 场）的定义量词写全为：

对每个光滑 Riemann 流形 $(M,g)$、每条测地线 $\gamma :I\to M$ 与每个光滑截面 $J\in \mathrm{\Gamma }({\gamma }^{\ast }TM)$，称 $J$ 为沿 $\gamma$ 的 Jacobi 场，当且仅当对所有 $t\in I$，

$$\frac{D^{2}J}{d{t}^2}(t)+R(J(t),\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t)=0.$$

并且，对每个 $t_0\in I$ 与每对初值 $u,v\in T_{\gamma (t_0)}M$，存在唯一的 Jacobi 场 $J=J_{\gamma ,t_0,u,v}$，满足

$$J(t_0)=u,\frac{DJ}{dt}(t_0)=v.$$

前置、机制与去向。 前置知识是昨天的 Levi-Civita 联络、曲率张量和指数映射，以及线性二阶 ODE 的初值理论。主导 proof engines 是：无挠联络允许交换变分方向的协变导数；曲率交换子留下 Jacobi 方程；ODE 唯一性把端点消失转译为指数映射微分的核；常曲率时，向量方程降为 $y^{″}+Ky=0$。

这是两日 micro-arc 的第 2 日，也是收束日：昨天从度量中抽取曲率，今天让曲率进入测地线族的运动。Graduate / modern destinations 是共轭点、割迹、Rauch comparison theorem（Rauch 比较定理）、Cartan--Hadamard 定理、Morse theory on path spaces（路径空间上的 Morse 理论）与测地流稳定性。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 从一族测地线导出 Jacobi 方程

设

$$F:I\times (-\epsilon ,\epsilon )⟶M$$

光滑，并且对每个 $s\in (-\epsilon ,\epsilon )$，曲线

$${\gamma }_s(t):=F(t,s)$$

都是测地线；又设 ${\gamma }_0=\gamma$。这称为 geodesic variation（测地变分）。定义沿 $F$ 的两个方向

$$T:=F_{\ast }\frac{\partial }{\partial t},S:=F_{\ast }\frac{\partial }{\partial s},$$

以及沿基准曲线的 variation field（变分场）

$$J(t):=S(t,0)={\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)|}_{s=0}.$$

定理 1（测地变分的线性化）。 每个测地变分的变分场都是 Jacobi 场。反过来，每个沿 $\gamma$ 的 Jacobi 场都可实现为某个测地变分的一阶变分场。

推导。 因为 Levi-Civita 联络无挠，且参数域中的坐标向量场交换，

$${\mathrm{\nabla }}_{T}S={\mathrm{\nabla }}_{S}T,[T,S]=0.$$

每条 ${\gamma }_s$ 是测地线，所以 ${\mathrm{\nabla }}_{T}T=0$。采用昨天的曲率约定

$$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z,$$

便有

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}_T{\mathrm{\nabla }}_{T}S& ={\mathrm{\nabla }}_T{\mathrm{\nabla }}_{S}T\\ & =R(T,S)T+{\mathrm{\nabla }}_S{\mathrm{\nabla }}_{T}T\\ & =R(T,S)T.\end{array}$$

在 $s=0$ 上限制，并用 $R(T,J)=-R(J,T)$，得到

$$\boxed{{\displaystyle \frac{D^{2}J}{d{t}^2}+R(J,\dot{\gamma })\dot{\gamma }=0.}}$$

这一步解释了曲率项为何出现：它不是人为加进 ODE 的“力”，而是交换“沿测地线前进”和“横向改变测地线”两种协变微分时留下的余项。

反向实现的核心不是形式积分，而是初值。给定

$$J(0)=u,\frac{DJ}{dt}(0)=v,$$

先平滑改变测地线的起点和初速度，构造一族测地线；其变分场与 $J$ 满足同一 Jacobi 方程及同一初值，故由线性 ODE 唯一性二者相同。[1]

1.2 固定起点时，Jacobi 场就是指数映射的微分

现在令 $p=\gamma (0)$，$u=\dot{\gamma }(0)$，并取固定起点的变分

$$F(t,s)={\exp }_p(t(u+sv)),v\in T_{p}M.$$

对 $s$ 求导可得

$$\boxed{{\displaystyle J_v(t)=(d{\exp }_p{)}_{tu}(tv),J_v(0)=0,\frac{D{J}_v}{dt}(0)=v.}}$$

因此 $d{\exp }_p$ 不是一件与曲率无关的抽象微分：它把初速度的微扰 $v$ 送到时刻 $t$ 的测地线分离向量 $J_v(t)$。

定义 2（conjugate point，共轭点）。 设 $t_0>0$ 且 $q=\gamma (t_0)$。若存在一个不恒为零的 Jacobi 场 $J$，满足

$$J(0)=0,J(t_0)=0,$$

则称 $q$ 是 $p$ 沿 $\gamma$ 的共轭点。所有这样的 $J$ 所成向量空间的维数称为该共轭点的 multiplicity（重数）。

定理 2（共轭点与指数映射奇性）。 对每个 $t_0>0$，

$$\boxed{{\displaystyle q=\gamma (t_0)\text{ 与 }p\text{ 沿 }\gamma \text{ 共轭}⟺(d{\exp }_p{)}_{t_{0}u}\text{ 有非零核}.}}$$

而且

$${\mathrm{mult}}_{\gamma ,p}(q)=\dim \ker (d{\exp }_p{)}_{t_{0}u}.$$

证明。 若 $J(0)=0$，令 $v=DJ/dt(0)$。不恒为零迫使 $v\ne 0$，而唯一性与固定起点公式给出

$$J(t_0)=(d{\exp }_p{)}_{t_{0}u}(t_{0}v).$$

所以 $J(t_0)=0$ 等价于非零向量 $t_{0}v$ 落入微分的核。反过来，给定核中的非零向量 $w$，取 $v=w/t_0$，对应的 $J_v$ 就在 $0,t_0$ 同时消失。映射 $J\mapsto t_{0}DJ/dt(0)$ 还是两个核空间之间的线性同构，故重数相等。[2]

几何上，共轭意味着：不同初始方向的一阶差异在终点被压成零，指数映射在那里失去局部可逆性。它也是测地线固定端点能量二次变分发生退化的信号。

1.3 常曲率模型：聚焦、平行与发散

设 $\gamma$ 是单位速测地线，$E$ 是沿 $\gamma$ 平行且处处垂直于 $\dot{\gamma }$ 的单位向量场。若流形的截面曲率恒为常数 $K$，则

$$R(E,\dot{\gamma })\dot{\gamma }=KE.$$

寻找 $J(t)=y(t)E(t)$，并规定 $J(0)=0$、$DJ/dt(0)=E(0)$，Jacobi 方程降为

$$y^{″}+Ky=0,y(0)=0,y^{\prime }(0)=1.$$

唯一解为

$$\boxed{{\displaystyle y(t)=s_K(t):=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin (\sqrt{K}t)}{\sqrt{K}}},& K>0,\\ t,& K=0,\\ {\displaystyle \frac{\sinh (\sqrt{-K}t)}{\sqrt{-K}}},& K<0.\end{array}}}$$

于是：

1. $K>0$： $s_K$ 在 $t=\pi /\sqrt{K}$ 首次再次归零；常正曲率使邻近径向测地线重新聚焦。半径 $1/\sqrt{K}$ 的圆球上，对跖点是重数 $n-1$ 的共轭点。
2. $K=0$： $s_0(t)=t$；分离速度保持线性。
3. $K<0$： $s_K(t)$ 按双曲正弦增长；邻近方向比 Euclidean 模型分离得更快。

这不是只供想象的图景。Rauch 比较定理把“常数 $K$”替换为沿测地线的截面曲率上下界，把 $s_K$ 变成一般 Jacobi 场范数的比较函数。[3]

1.4 非正曲率为何没有共轭点

命题 3。 设 $(M,g)$ 的所有截面曲率满足 $K\le 0$。则任一点沿任意测地线都没有共轭点。

证明。 若存在共轭点，可取不恒为零、端点消失的法向 Jacobi 场 $J$。令

$$f(t):=|J(t){|}^2.$$

由 Jacobi 方程，

$$\begin{array}{rl}{f}^{″}(t)& =2{\left|\frac{DJ}{dt}\right|}^2+2⟨\frac{D^{2}J}{d{t}^2},J⟩\\ & =2{\left|\frac{DJ}{dt}\right|}^2-2⟨R(J,\dot{\gamma })\dot{\gamma },J⟩\\ & \ge 0,\end{array}$$

因为 $J\perp \dot{\gamma }$ 且

$$⟨R(J,\dot{\gamma })\dot{\gamma },J⟩=K(J\wedge \dot{\gamma })|J{|}^2|\dot{\gamma }{|}^2\le 0.$$

又因 $J(0)=0$ 且 $J$ 不恒为零，$DJ/dt(0)\ne 0$；故

$$f(t)=t^2{|\frac{DJ}{dt}(0)|}^2+O(t^3),f^{\prime }(t)=2t{|\frac{DJ}{dt}(0)|}^2+O(t^2).$$

所以对充分小的 $t>0$ 有 $f(t)>0$ 且 $f^{\prime }(t)>0$。又因 $f^{″}\ge 0$，导数 $f^{\prime }$ 单调不减，此后始终为正，故 $f$ 不可能返回到 $0$，矛盾。因此没有共轭点。

1.5 Graduate extension：Cartan--Hadamard 的整体化

无共轭点只先告诉我们 $(d{\exp }_p{)}_v$ 对每个 $v$ 可逆，即 ${\exp }_p$ 是 local diffeomorphism（局部微分同胚）。要升级为整体结论，还需要完整性与拓扑假设。

定理 4（Cartan--Hadamard）。 设 $(M,g)$ 是连通、完备的 Riemann 流形，并且所有截面曲率 $K\le 0$。则对每个 $p\in M$，

$${\exp }_p:T_{p}M⟶M$$

是覆盖映射。若 $M$ 还单连通，则 ${\exp }_p$ 是微分同胚；特别地，任意两点之间存在唯一的测地线，并且 $M$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 微分同胚。[2]

证明架构是

$$\begin{array}{c}K\le 0\\ \Downarrow |J{|}^2\text{ 的凸性}\\ \text{无共轭点}\\ \Downarrow \\ d{\exp }_p\text{ 处处可逆}\\ \Downarrow \text{完备性与测地提升}\\ {\exp }_p\text{ 是覆盖映射}\\ \Downarrow M\text{ 单连通}\\ {\exp }_p\text{ 是整体微分同胚}.\end{array}$$

其中三种假设职责不同：$K\le 0$ 排除微分奇性；完备性保证径向测地线在所有时间存在并支持覆盖论证；单连通性消除覆盖的多层性。第 4 节会说明，缺少最后一步时，“无共轭点”仍不保证指数映射单射。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目

设 $f\in C([0,1])$，定义

$$A_n(f):=(n+1){\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx.$$

1. 证明
   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n(f)=f(1).$$
2. 若 $f$ 还是 Lipschitz 连续的，即存在 $L\ge 0$ 使
   $$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|(x,y\in [0,1]),$$
   证明定量误差界
   $$|A_n(f)-f(1)|\le \frac{L}{n+2}.$$

模板识别

核

$$k_n(x):=(n+1)x^n$$

非负且总质量为 $1$，并随 $n$ 增大把质量压向端点 $x=1$。看到“归一化非负核 $+$ 质量向一点集中 $+$ 与连续函数积分”，应识别 approximate identity（逼近恒等算子）模板：先减去目标值，再把积分域切成目标点附近与远离目标点两部分。不要仅凭逐点极限 $k_n(x)\to 0$；核的高度与质量分布同样重要。

分级提示

1. Hint 1. 先核验
   $${\int }_0^1{k}_n(x)dx=1,$$
   再把 $A_n(f)-f(1)$ 写成一个积分。
2. Hint 2. 给定 $\epsilon >0$，由 $f$ 在 $1$ 处连续，选 $\delta >0$ 控制 $[1-\delta ,1]$；在 $[0,1-\delta ]$ 上用 $x^n\le (1-\delta {)}^n$。
3. Hint 3. 定量部分直接使用 $|f(x)-f(1)|\le L(1-x)$；剩下的是一个可显式计算的 Beta 型积分。

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

可核验语境。 William P. Thurston 的第一人称随笔 On Proof and Progress in Mathematics 收稿于 1993-10-26，发表于 Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 30, No. 2（1994 年 4 月），pp. 161--177。Thurston 反思“数学进展是否只是生产定义、定理与证明”时写道：[4]

“The measure of our success is whether what we do enables people to understand and think more clearly and effectively about mathematics.”

中译。 “衡量我们是否成功，要看我们所做的事能否使人们更清楚、更有效地理解和思考数学。”

评论（本文解释）。 这不是降低证明标准；Thurston 在同文中明确主张清楚、经得起审查的证明。重点是：一个形式上正确的结论还可以有多种显著不同的理解方式。他随后以导数为例，列出 infinitesimal、symbolic、logical、geometric、rate、approximation 与 microscopic 等视角。今天也在做同类转换：昨天把曲率理解为小圆周长的三阶偏差，今天把同一张量理解为测地线族线性化方程中的系数。后一视角不是换术语，而是立即产生共轭点、指数映射奇性和比较定理。

Jacobi 场因而体现了 Thurston 所说的“更有效地思考”：它把原本分散的曲率、最短路、指数映射和拓扑压进一条可计算的线性 ODE。完整证明仍不可省略，但证明中的主导机制变得可携带、可比较，也能迁移到 Rauch 比较、Cartan--Hadamard 与路径空间 Morse 理论。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

考察一个很接近但错误的命题：

“若从 $p$ 出发的任何测地线上都没有共轭点，则 ${\exp }_p$ 必为单射，因而 $p$ 到每一点都有唯一最短测地线。”

反例：平坦方形环面。 令

$$T^2:={\mathbb{R}}^2/(2\pi \mathbb{Z}{)}^2$$

带有 Euclidean 度量诱导的商度量，记商映射为 $\pi :{\mathbb{R}}^2\to T^2$。逐项核验：

1. 曲率为零。 $\pi$ 是局部等距；每个点附近都与 Euclidean 平面开集等距，所以 $T^2$ 的截面曲率处处为 $0$。
2. 没有共轭点。 沿任一测地线取平行标架，Jacobi 方程化为
   $$J^{″}(t)=0,$$
   故 $J(t)=A+tB$。若 $J(0)=J(t_0)=0$ 且 $t_0>0$，则 $A=0$、$t_{0}B=0$，所以 $J\equiv 0$；不存在非零端点消失的 Jacobi 场。
3. 指数映射处处非奇异。 以 $p=[(0,0)]$ 为基点并作自然识别 $T_p{T}^2\cong {\mathbb{R}}^2$，有
   $${\exp }_p(v)=\pi (v).$$
   因 $\pi$ 是局部等距，$(d{\exp }_p{)}_v$ 对每个 $v$ 都是线性同构。
4. 但指数映射不单射。 例如
   $${\exp }_p(\pi ,0)=[(\pi ,0)]=[(-\pi ,0)]={\exp }_p(-\pi ,0).$$
5. 确有两条最短测地线。 令 $q=[(\pi ,0)]$，则
   $${\gamma }_{+}(t)=[(t,0)],{\gamma }_{-}(t)=[(-t,0)],0\le t\le \pi ,$$
   是从 $p$ 到 $q$ 的两条不同单位速测地线，长度都为 $\pi$。$q$ 的任一 lift 形如
   $$((2k+1)\pi ,2\ell \pi ),k,\ell \in \mathbb{Z},$$
   其到原点的 Euclidean 距离至少为 $\pi$，故上述两条曲线确为最短路。

暴露的边界是：共轭点检测 $d{\exp }_p$ 的局部退化；割迹还会检测 ${\exp }_p$ 因整体拓扑而出现的多对一。 平坦环面没有共轭点，却有割迹和竞争的最短测地线。因而“无共轭点”给出局部可逆与局部极小信息，不自动给出整体唯一性；Cartan--Hadamard 中的单连通假设正是用来消除这种覆盖多层性。

这也区分了两种失去最短性的机制：越过共轭点后，固定端点的二次变分产生下降方向；到达某些割点时，则可能先出现另一条同长最短路，即使指数映射的微分仍然可逆。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 设 $(M,g)$ 的截面曲率满足 $K\le 0$，$\gamma :[0,a]\to M$ 是单位速测地线，记

$$p:=\gamma (0),u:=\dot{\gamma }(0).$$

设 $J$ 是法向 Jacobi 场，并满足

$$J(0)=0,\frac{DJ}{dt}(0)=E\ne 0.$$

证明函数

$$\mathrm{\Phi }(t):=\frac{|J(t)|}{t}$$

在 $0<t\le a$ 上单调不减。进而推出

$$|J(t)|\ge t|E|.$$

特别地，对每个 $v\in T_{p}M$ 且 $v\perp u$，把 $E$ 取为 $v$ 并使用固定起点公式，推出

$$|(d{\exp }_p{)}_{tu}(tv)|\ge t|v|.$$

这给出怎样的径向扩张解释？为什么它比“$J$ 不会再次归零”严格更强？

定向提示。 已知 $J(t)\ne 0$。令 $h(t)=|J(t)|$，从 $h^2=⟨J,J⟩$ 出发求两次导数；用 Cauchy--Schwarz 不等式处理

$${\left|\frac{DJ}{dt}\right|}^2-(h^{\prime }(t){)}^2,$$

并用 $K\le 0$ 判断曲率项符号。得到 $h^{″}\ge 0$ 后，再回忆：若凸函数 $h$ 满足 $h(0)=0$，则割线斜率 $h(t)/t$ 如何随 $t$ 变化？

数学地图。

$$\begin{array}{c}\text{Riemann 度量与 Levi-Civita 联络}\\ \Downarrow \\ \text{测地线与指数映射}\\ \Downarrow \text{线性化测地变分}\\ \text{Jacobi 方程}\\ \Downarrow \\ \begin{array}{ccc}\text{Jacobi 场范数比较}& ⟷& \text{截面曲率界}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ \text{共轭点／割迹}& ⟶& \text{Rauch 与 Hessian 比较}\end{array}\\ \Downarrow \\ \text{Cartan--Hadamard、Bonnet--Myers、路径空间 Morse 理论}.\end{array}$$

研究分支中，负曲率下 Jacobi 场的指数型分离连接 geodesic flow（测地流）的双曲性与动力系统稳定性；正曲率下的聚焦连接共轭点、直径估计与拓扑约束；把光滑结构弱化后，Alexandrov/CAT$(\kappa )$ 几何则尝试只用距离三角形保留比较曲率的核心。

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

可复用模板：归一化核 $+$ 近端／远端分割 $+$ 连续性控制局部振荡 $+$ 集中性消灭远端质量。

先核验核的总质量：

$$(n+1){\int }_0^1{x}^{n}dx=1.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{A}_n(f)-f(1)& =(n+1){\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx-f(1)(n+1){\int }_0^1{x}^{n}dx\\ & =(n+1){\int }_0^1{x}^n(f(x)-f(1))dx.\end{array}$$

给定 $\epsilon >0$。由 $f$ 在 $x=1$ 处连续，存在 $\delta =\delta (\epsilon ,f)\in (0,1)$，使得

$$1-\delta \le x\le 1⟹|f(x)-f(1)|<\frac{\epsilon }{2}.$$

再令

$$M:=\underset{x\in [0,1]}{max}|f(x)-f(1)|<\mathrm{\infty }.$$

若 $M=0$，结论立即成立。以下设 $M>0$，并把误差拆成两段：

$$\begin{array}{rl}|A_n(f)-f(1)|& \le (n+1){\int }_0^{1-\delta }{x}^n|f(x)-f(1)|dx\\ & +(n+1){\int }_{1-\delta }^1{x}^n|f(x)-f(1)|dx\\ & \le M(n+1){\int }_0^{1-\delta }{x}^{n}dx+\frac{\epsilon }{2}(n+1){\int }_{1-\delta }^1{x}^{n}dx\\ & \le M(1-\delta {)}^{n+1}+\frac{\epsilon }{2}.\end{array}$$

因为 $0<1-\delta <1$，存在

$$N=N(\epsilon ,f,\delta )$$

使所有 $n\ge N$ 都满足

$$M(1-\delta {)}^{n+1}<\frac{\epsilon }{2}.$$

故对所有 $n\ge N$，

$$|A_n(f)-f(1)|<\epsilon .$$

这就证明了 $A_n(f)\to f(1)$。量词顺序是：先给 $\epsilon$，再由连续性选 $\delta =\delta (\epsilon ,f)$，最后由几何衰减选 $N=N(\epsilon ,f,\delta )$。

若 $f$ 为 Lipschitz 连续，则不必分割区间。直接估计

$$\begin{array}{rl}|A_n(f)-f(1)|& \le (n+1){\int }_0^1{x}^n|f(x)-f(1)|dx\\ & \le L(n+1){\int }_0^1{x}^n(1-x)dx\\ & =L(n+1)(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\\ & =\boxed{{\displaystyle \frac{L}{n+2}}}.\end{array}$$

这里的定量速度来自函数在端点附近的一阶模连续性。一般连续函数仍有收敛，但若不给出 modulus of continuity（连续模），就不能从连续性本身抽出统一的 $O(1/n)$ 速度。

资料与来源 (Sources)

1. Zuoqin Wang, Lecture 17: Jacobi Fields, Riemannian Geometry course notes, University of Science and Technology of China。用于核对测地变分、Jacobi 方程、初值唯一性、固定起点变分、指数映射微分公式及常曲率模型：http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/24S-RiemGeom/Notes/Lec17.pdf
2. Zuoqin Wang, Lecture 19: Conjugate Point and Applications, Riemannian Geometry course notes, University of Science and Technology of China。用于核对共轭点与 $d{\exp }_p$ 奇性的等价、非正曲率无共轭点及 Cartan--Hadamard 定理：http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/24S-RiemGeom/Notes/Lec19.pdf
3. Zuoqin Wang, Lecture 23: Rauch Comparison Theorem, Riemannian Geometry course notes, University of Science and Technology of China。用于核对曲率界、Jacobi 场长度比较及指数映射径向扩张的现代延伸：http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/24S-RiemGeom/Notes/Lec23.pdf
4. William P. Thurston, “On Proof and Progress in Mathematics,” Bulletin of the American Mathematical Society (New Series), Vol. 30, No. 2 (April 1994), pp. 161--177；收稿日期 1993-10-26。Section 3 引文及导数多视角语境逐字核对自 AMS PDF：https://www.ams.org/journals/bull/1994-30-02/S0273-0979-1994-00502-6/S0273-0979-1994-00502-6.pdf