2026-08-27 · 用一个终值控制整条路径

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 昨日的上穿不等式回答了“路径会不会永远振荡”：若鞅在 $L^1$ 中一致有界，则它几乎处处趋于某个有限极限。但这还没有控制路径在收敛前可能冲到多高，也没有给出

$$\mathbb{E}|X_n-X_{\mathrm{\infty }}{|}^p⟶0.$$

今天改变观察对象。对固定时域 $N$，不逐时刻分别估计 $X_0,\dots ,X_N$，而把整段历史压成一个随机变量

$$M_N^{\ast }:=\underset{0\le k\le N}{max}|X_k|.$$

目标是用单个终值 $X_N$ 的 $L^p$ 大小控制 $M_N^{\ast }$。这是一种“终值到路径”的传递：条件期望让终值在每个较早时刻留下投影，首次越级事件定位路径何时用掉了高度预算，尾积分再把所有高度层合成一个范数估计。

对象与量词分为四层：

1. 概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 与离散滤过 $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$；
2. 对每个确定的 $N\in {\mathbb{N}}_0$，研究实值鞅 $(X_k{)}_{0\le k\le N}$ 与最大变量 $M_N^{\ast }$；
3. 对每个确定的指数 $p\in (1,\mathrm{\infty })$，令共轭指数 $q=q(p)=p/(p-1)$；
4. 先对所有有限 $N$ 建立同一个常数 $q$ 的估计，再令 $N\to \mathrm{\infty }$，得到全路径包络 $M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }=\underset{n\ge 0}{sup}|X_n|$。

前置知识是条件期望、条件 Jensen 不等式、首次到达事件、Tonelli 定理、尾积分公式、Hölder 不等式，以及昨日得到的几乎处处鞅收敛。主导 proof engines 是：首次越级把最大事件分割成可测的不交事件；层糕表示把弱型尾界积分成强 $L^p$ 界；无限时域最大包络为支配收敛提供一个真正可积的支配函数。

本期是三日 anchor micro-arc“鞅收敛”的第 2 日。昨日从上穿次数得到几乎处处极限；今日从最大值控制得到 $p>1$ 时的 $L^p$ 收敛；下一日将处理端点 $p=1$ 的正确替代条件——一致可积性 (uniform integrability)、闭鞅与 Lévy 向上定理。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 从“某时越级”到首次越级分割

定义（discrete-time martingale，离散时间鞅）。 设 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间，$({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 为滤过，即

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,{\mathcal{F}}_n\subseteq {\mathcal{F}}_{n+1}\subseteq \mathcal{F}.$$

实值过程 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 称为关于该滤过的鞅，当且仅当

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,X_n:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}\text{ 是 }{\mathcal{F}}_n\text{-可测的},\mathbb{E}|X_n|<\mathrm{\infty },$$

并且

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,\mathbb{E}[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=X_n\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

迭代塔式性质可得：对所有 $0\le k\le N$，

$$X_k=\mathbb{E}[X_N\mid {\mathcal{F}}_k]\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

因此条件 Jensen 不等式给出

$$|X_k|\le \mathbb{E}[|X_N|\mid {\mathcal{F}}_k]\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

这正是“较早时刻的绝对值由终值条件投影支配”。

固定 $N\in {\mathbb{N}}_0$ 与高度 $\lambda >0$。令

$$A_0(\lambda )=\{|X_0|\ge \lambda \},$$

并对 $1\le k\le N$ 定义

$$A_k(\lambda )=\{\underset{0\le j<k}{max}|X_j|<\lambda ,|X_k|\ge \lambda \}.$$

$A_k(\lambda )\in {\mathcal{F}}_k$，这些事件两两不交，而且

$$\{M_N^{\ast }\ge \lambda \}=\underset{k=0}{\overset{N}{⨆}}{A}_k(\lambda ).$$

每条越过高度 $\lambda$ 的路径只归入它第一次越级的那个 $k$。这避免了对各时刻事件作粗糙并集估计。

1.2 Doob 弱型最大不等式

定理（Doob weak maximal inequality，Doob 弱型最大不等式）。 设 $(X_k{)}_{0\le k\le N}$ 为实值鞅，$M_N^{\ast }=\underset{0\le k\le N}{max}|X_k|$。则对所有 $\lambda >0$，

$$\lambda \mathbb{P}(M_N^{\ast }\ge \lambda )\le \mathbb{E}[|X_N|{\mathbf{1}}_{\{M_N^{\ast }\ge \lambda \}}]\le \mathbb{E}|X_N|.$$

证明。 对每个 $0\le k\le N$，利用 $A_k(\lambda )\in {\mathcal{F}}_k$ 与条件 Jensen，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[|X_N|{\mathbf{1}}_{A_k(\lambda )}]& =\mathbb{E}[\mathbb{E}(|X_N|\mid {\mathcal{F}}_k){\mathbf{1}}_{A_k(\lambda )}]\\ & \ge \mathbb{E}[|X_k|{\mathbf{1}}_{A_k(\lambda )}]\\ & \ge \lambda \mathbb{P}(A_k(\lambda )).\end{array}$$

对不交事件求和即得第一条不等式，第二条由指示函数不超过 $1$ 得到。

这里的“弱型”含义是：它直接控制尾概率 $\mathbb{P}(M_N^{\ast }\ge \lambda )$，却尚未给出 $\mathbb{E}{M}_N^{\ast }$ 的统一控制。Section 4 将说明在 $p=1$ 端点，这个差别不可抹去。

1.3 从尾概率到强 $L^p$ 最大不等式

定理（Doob $L^p$ maximal inequality，Doob $L^p$ 最大不等式）。 设 $1<p<\mathrm{\infty }$，令

$$q=q(p):=\frac{p}{p-1}.$$

若 $(X_k{)}_{0\le k\le N}$ 为实值鞅且 $X_N\in L^p$，则

$${\Vert M_N^{\ast }\Vert }_p\le q\parallel X_N{\parallel }_p,$$

等价地，

$$\mathbb{E}[(M_N^{\ast }{)}^p]\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\mathbb{E}|X_N{|}^p.$$

证明架构。 非负随机变量 $Y$ 的尾积分公式为

$$\mathbb{E}[Y^p]=p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{p-1}\mathbb{P}(Y\ge \lambda )d\lambda .$$

取 $Y=M_N^{\ast }$，代入弱型不等式。由于 $p>1$，函数 ${\lambda }^{p-2}$ 在每个区间 $(0,r)$ 上可积。Tonelli 定理允许交换积分与期望：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[(M_N^{\ast }{)}^p]& =p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{p-1}\mathbb{P}(M_N^{\ast }\ge \lambda )d\lambda \\ & \le p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{p-2}\mathbb{E}[|X_N|{\mathbf{1}}_{\{M_N^{\ast }\ge \lambda \}}]d\lambda \\ & =p\mathbb{E}[|X_N|{\int }_0^{M_N^{\ast }}{\lambda }^{p-2}d\lambda ]\\ & =\frac{p}{p-1}\mathbb{E}[|X_N|(M_N^{\ast }{)}^{p-1}].\end{array}$$

再由 Hölder 不等式，

$$\mathbb{E}[|X_N|(M_N^{\ast }{)}^{p-1}]\le \parallel X_N{\parallel }_p{\Vert (M_N^{\ast }{)}^{p-1}\Vert }_q=\parallel X_N{\parallel }_p\parallel M_N^{\ast }{\parallel }_p^{p-1}.$$

若 $\parallel M_N^{\ast }{\parallel }_p=0$，结论显然；否则约去其 $p-1$ 次幂，得到

$$\parallel M_N^{\ast }{\parallel }_p\le \frac{p}{p-1}\parallel X_N{\parallel }_p.$$

常数 $q=p/(p-1)$ 不是凭空出现的：一次来自积分

$${\int }_0^r{\lambda }^{p-2}d\lambda =\frac{r^{p-1}}{p-1},$$

另一次由指数 $p$ 与 $q$ 的 Hölder 对偶把 $(M_N^{\ast }{)}^{p-1}$ 恰好送回 $L^q$。

1.4 $L^p$ 有界鞅收敛：最大包络完成升级

定理（$L^p$ martingale convergence，$L^p$ 鞅收敛）。 设 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 为实值离散鞅，并假设存在 $p\in (1,\mathrm{\infty })$ 与有限常数

$$C:=\underset{n\ge 0}{sup}\parallel X_n{\parallel }_p<\mathrm{\infty }.$$

则存在 $X_{\mathrm{\infty }}\in L^p$，使得

$$X_n\to X_{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\text{-a.s.},$$

并且

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\parallel X_n-X_{\mathrm{\infty }}{\parallel }_p=0.$$

证明。 概率空间上 $\parallel X_n{\parallel }_1\le \parallel X_n{\parallel }_p\le C$。由昨日的前向收敛定理，存在可积随机变量 $X_{\mathrm{\infty }}$，使 $X_n\to X_{\mathrm{\infty }}$ 几乎处处。Fatou 引理进一步给出

$$\parallel X_{\mathrm{\infty }}{\parallel }_p^p\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\parallel X_n{\parallel }_p^p\le C^p,$$

故 $X_{\mathrm{\infty }}\in L^p$。

令

$$M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }:=\underset{n\ge 0}{sup}|X_n|.$$

因为 $M_N^{\ast }\uparrow M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$，有限时域 Doob 不等式与单调收敛定理给出

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[(M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }{)}^p]& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{E}[(M_N^{\ast }{)}^p]\\ & \le q^p\underset{N\ge 0}{sup}\mathbb{E}|X_N{|}^p\\ & \le q^p{C}^p<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

因此整条路径由单个 $L^p$ 随机变量 $M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ 支配。又因 $|X_{\mathrm{\infty }}|\le M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ 几乎处处，

$$|X_n-X_{\mathrm{\infty }}{|}^p\le (2M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }{)}^p,$$

而右侧可积。支配收敛定理遂给出

$$\mathbb{E}|X_n-X_{\mathrm{\infty }}{|}^p⟶0.$$

这一步显示了最大不等式的真正功能：它不直接制造逐点极限，而是把昨日已有的逐点极限装进一个可积包络，从而允许极限穿过积分号。

1.5 Graduate / modern extension：鞅最大算子

若 $Z\in L^p$ 且

$$X_n=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n],$$

则 Doob 不等式可写成最大算子的有界性：

$${\Vert \underset{n\ge 0}{sup}|\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_n]|\Vert }_p\le \frac{p}{p-1}\parallel Z{\parallel }_p.$$

这把鞅论放进现代分析熟悉的框架：一个算子先把函数 $Z$ 投影到不断增长的信息层，再对所有层取上确界。端点 $p=1$ 只有弱型控制，$p>1$ 才有强型控制；这一“弱端点—强内部”结构也出现在许多调和分析最大算子中。

下一日将从另一个方向闭合这幅图：并非每个 $L^1$ 有界鞅都能写成某个终值 $Z$ 的条件期望；正确条件是一致可积性。满足该条件时，鞅既在 $L^1$ 收敛，又具有闭鞅表示 $X_n=\mathbb{E}[X_{\mathrm{\infty }}\mid {\mathcal{F}}_n]$。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目。 设 $Y_1,\dots ,Y_N$ 为相互独立、平方可积且中心化的实随机变量：

$$\mathrm{\forall }k\in \{1,\dots ,N\},\mathbb{E}{Y}_k=0,\mathbb{E}{Y}_k^2<\mathrm{\infty }.$$

令

$$S_0=0,S_k=\sum _{j=1}^k{Y}_j(1\le k\le N).$$

证明对每个 $\lambda >0$，Kolmogorov 最大不等式成立：

$$\mathbb{P}(\underset{1\le k\le N}{max}|S_k|\ge \lambda )\le \frac{\mathrm{Var}(S_N)}{{\lambda }^2}=\frac{\sum _{j=1}^N\mathrm{Var}(Y_j)}{{\lambda }^2}.$$

模板识别。 题目同时出现“独立中心化增量”“部分和的最大值”和“终端方差”时，优先按首次越界时刻分割事件。与直接使用并集界不同，首次越界事件彼此不交；与 Doob $L^2$ 不等式不同，这里可借助未来增量相对过去的正交性，保留常数 $1$。

分级提示。

1. 对 $1\le k\le N$ 定义事件：在时刻 $k$ 第一次满足 $|S_k|\ge \lambda$。证明这些事件属于 $\sigma (Y_1,\dots ,Y_k)$、彼此不交，且其并恰为目标最大事件。
2. 在第 $k$ 个首次越界事件上展开
   $$S_N^2=(S_k+(S_N-S_k){)}^2.$$
   哪个交叉项的期望应为零？
3. 利用 $S_N-S_k$ 与过去 $\sigma$-代数独立且均值为零，证明
   $$\mathbb{E}[S_N^2{\mathbf{1}}_{A_k}]\ge \mathbb{E}[S_k^2{\mathbf{1}}_{A_k}].$$
4. 在 $A_k$ 上有 $S_k^2\ge {\lambda }^2$。对 $k$ 求和，并注意目标事件之外的 $S_N^2$ 仍是非负的。

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

Andrey N. Kolmogorov 在 Foundations of the Theory of Probability 的序言开篇，直接说明这部著作的数学任务：

The purpose of this monograph is to give an axiomatic foundation for the theory of probability.

本专著的目的，是为概率论给出一个公理化基础。

英文引文逐字核对自该书第二英文版的序言文本；中文为本刊翻译。书目页所载版本由 Nathan Morrison 编译，York 扫描本与 Internet Archive 的同版序言 OCR 均在本次检索中核验。

这句话不是把概率论缩减为一张公理清单。紧接着，Kolmogorov 解释了两组结构对应：事件的概率对应集合的测度，随机变量的数学期望对应函数的积分；Lebesgue 测度与积分理论使这种统一成为可能。他还特别指出，本书的新内容包括条件概率与条件期望，并强调这些问题来自具体物理问题的需要。这里显露的是一种双向方法：从具体随机问题提取抽象结构，再让抽象结构统一并推进计算。

今日的滤过与鞅正是这项纲领的后续语言。滤过把“到时刻 $n$ 已知什么”编码为 ${\mathcal{F}}_n$；条件期望把终值投影到该信息层；最大不等式则把“整条路径是否曾经越级”重新写成这些投影可控制的测度陈述。公理化在这里不是远离问题，而是让首次越级、尾积分与范数对偶能够在任意概率模型上复用。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

4.1 再访昨日的加倍鞅：这次检查路径最大值

令 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 为独立公平抛币，$A_n$ 表示前 $n$ 次全为正面，$A_0=\mathrm{\Omega }$，并定义

$$X_n=2^n{\mathbf{1}}_{A_n}.$$

昨日已逐项验证：$(X_n)$ 是非负鞅，$\mathbb{E}{X}_n=1$，且 $X_n\to 0$ 几乎处处，却不在 $L^1$ 收敛。本期不把它当作新反例，而是提取新的最大值信息。

令 $H$ 为第一次反面前连续出现的正面数。除去概率为零的“永远正面”事件，$H\in {\mathbb{N}}_0$，并且

$$\mathbb{P}(H=k)=2^{-(k+1)}(k\in {\mathbb{N}}_0).$$

若 $H=k$，路径依次取值

$$1,2,\dots ,2^k,0,0,\dots ,$$

所以

$$M_{\mathrm{\infty }}^{\ast }:=su{p}_{n\ge 0}{X}_n=2^H.$$

逐项计算得到

$$\mathbb{E}{M}_{\mathrm{\infty }}^{\ast }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{2}^{-(k+1)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }.$$

因此，虽然

$$\underset{n}{sup}\mathbb{E}|X_n|=1,$$

整条路径的上确界却不可积。

4.2 有限时域也不存在统一的强 $L^1$ 常数

固定 $N\ge 1$。若第一次反面在第 $k+1$ 次出现，其中 $0\le k<N$，则 $M_N^{\ast }=2^k$；若前 $N$ 次全为正面，则 $M_N^{\ast }=2^N$。故

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{M}_N^{\ast }& =\sum _{k=0}^{N-1}{2}^k{2}^{-(k+1)}+2^N{2}^{-N}\\ & =1+\frac{N}{2}.\end{array}$$

但对所有 $N$，

$$\mathbb{E}|X_N|=1.$$

所以不存在与 $N$ 无关的有限常数 $K$，使所有有限鞅都满足

$$\mathbb{E}{M}_N^{\ast }\le K\mathbb{E}|X_N|.$$

这精确暴露 $p=1$ 的边界：弱型估计

$$\lambda \mathbb{P}(M_N^{\ast }\ge \lambda )\le \mathbb{E}|X_N|$$

仍然成立，但不能升级为强 $L^1$ 最大不等式。与此同时，这个例子对任意 $p>1$ 都不满足一致 $L^p$ 有界，因为

$$\mathbb{E}|X_n{|}^p=2^{n(p-1)}.$$

因此它不反驳 Section 1.4；它恰好说明为什么指数条件 $p>1$ 与一致 $L^p$ 预算不能删除。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 对固定 $p\in (1,\mathrm{\infty })$，Doob 不等式给出

$$\parallel M_N^{\ast }{\parallel }_p\le \frac{p}{p-1}\parallel X_N{\parallel }_p.$$

是否存在一个只依赖于 $p$、但严格小于 $p/(p-1)$ 的常数，对所有时域 $N$、所有滤过和所有实值鞅都成立？

不要只检查对称随机游走或单步鞅；它们可能离极端情形很远。请沿证明中的三处不等式逆向思考：

1. 首次越级估计何时接近等号？
2. 对哪些路径分布，多个高度层的尾积分能同时接近饱和？
3. Hölder 不等式接近等号要求 $|X_N{|}^p$ 与 $(M_N^{\ast }{)}^p$ 具有什么近似比例关系？

方向提示仅到这里：试图让终值通常很小、但在稀有路径上与已经出现的最大值保持特定比例。问题的难点不是验证某个给定例子，而是让同一个鞅同时逼近整条不等式链中的全部等号条件。

数学地图。

$$\begin{array}{c}\text{条件期望、滤过与停时}\\ \downarrow \\ \text{首次越级事件分割}\\ \downarrow \\ \text{Doob 弱型最大估计}\\ \downarrow \stackrel{\text{尾积分 + Hölder}}{\to }\\ \text{Doob 强 }{L}^p\text{ 最大不等式 }(p>1)\\ \downarrow \\ \text{可积全路径包络}\\ \downarrow \\ \text{几乎处处收敛 }⟹L^p\text{ 收敛}\\ \searrow \swarrow \\ \text{鞅最大算子与调和分析}\text{一致可积性与闭鞅}\\ \downarrow \\ \text{Lévy 向上定理、随机分析、随机图揭示鞅}\end{array}$$

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

可复用模板：按首次越界事件分割路径，再用未来中心化增量与过去事件正交，把终端二阶矩分配给各个越界时刻。

令

$${\mathcal{F}}_k=\sigma (Y_1,\dots ,Y_k),0\le k\le N,$$

其中 ${\mathcal{F}}_0=\{\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}$。对 $1\le k\le N$ 定义首次越界事件

$$A_k=\{\underset{1\le j<k}{max}|S_j|<\lambda ,|S_k|\ge \lambda \}.$$

因为 $S_1,\dots ,S_k$ 都是 ${\mathcal{F}}_k$-可测的，所以 $A_k\in {\mathcal{F}}_k$。不同 $A_k$ 对应不同的首次越界时刻，故两两不交，而且

$$\underset{k=1}{\overset{N}{⨆}}{A}_k=\{\underset{1\le k\le N}{max}|S_k|\ge \lambda \}.$$

固定 $k$。写成

$$S_N=S_k+(S_N-S_k).$$

由于 $S_N-S_k=Y_{k+1}+\cdots +Y_N$ 与 ${\mathcal{F}}_k$ 独立且均值为零，

$$\mathbb{E}[S_N-S_k\mid {\mathcal{F}}_k]=0.$$

又因 $S_k{\mathbf{1}}_{A_k}$ 是 ${\mathcal{F}}_k$-可测的，交叉项满足

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[S_k(S_N-S_k){\mathbf{1}}_{A_k}]& =\mathbb{E}[S_k{\mathbf{1}}_{A_k}\mathbb{E}(S_N-S_k\mid {\mathcal{F}}_k)]\\ & =0.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[S_N^2{\mathbf{1}}_{A_k}]& =\mathbb{E}[S_k^2{\mathbf{1}}_{A_k}]+\mathbb{E}[(S_N-S_k{)}^2{\mathbf{1}}_{A_k}]\\ & \ge \mathbb{E}[S_k^2{\mathbf{1}}_{A_k}]\\ & \ge {\lambda }^2\mathbb{P}(A_k),\end{array}$$

最后一步使用了 $A_k$ 上的 $|S_k|\ge \lambda$。

对 $k$ 求和。因为 $A_k$ 两两不交且 $S_N^2\ge 0$，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{S}_N^2& \ge \sum _{k=1}^N\mathbb{E}[S_N^2{\mathbf{1}}_{A_k}]\\ & \ge {\lambda }^2\sum _{k=1}^N\mathbb{P}(A_k)\\ & ={\lambda }^2\mathbb{P}(\underset{1\le k\le N}{max}|S_k|\ge \lambda ).\end{array}$$

由于 $Y_j$ 相互独立且中心化，不同增量正交，故

$$\mathbb{E}{S}_N^2=\mathrm{Var}(S_N)=\sum _{j=1}^N\mathrm{Var}(Y_j).$$

两边除以 ${\lambda }^2$，得到

$$\mathbb{P}(\underset{1\le k\le N}{max}|S_k|\ge \lambda )\le \frac{\mathrm{Var}(S_N)}{{\lambda }^2}.$$

这个模板的关键不是独立性本身，而是它保证“未来中心化增量”与“由过去决定的首次越界事件”正交。若题目只给出鞅差序列及相应条件二阶矩，也应尝试用同一条件期望消项机制。

资料与来源 (Sources)

1. Fabrice Baudoin, “Lecture 11. Doob’s martingale maximal inequalities,” Research and Lecture Notes, 10 April 2012. 该讲义给出 Doob 最大不等式的停时、尾积分、Fubini/Tonelli 与 Hölder 证明路线；本期 Section 1 的离散版本按首次越级事件展开，以显式展示每个可测性步骤。https://fabricebaudoin.blog/2012/04/10/lecture-11-doobs-martingale-maximal-inequalities/
2. Kexing Ying and Rémy Degenne, “A Formalization of Doob’s Martingale Convergence Theorems in mathlib,” CPP 2023, DOI 10.1145/3573105.3575675. 论文记录了条件期望、停时、Doob 最大不等式、几乎处处与 $L^1$ 鞅收敛定理在 mathlib 中的依赖链；用于核验本期与昨日、下一日之间的定理边界。https://inria.hal.science/hal-04337785v1/file/2212.05578.pdf
3. Lean mathematical library (mathlib), Mathlib.Probability.Martingale.Convergence. 当前文档明确区分 $L^1$ 有界次鞅的几乎处处收敛、一致可积次鞅的 $L^1$ 收敛、闭鞅表示与 Lévy 向上定理；用于核验 Section 1.5 的后续路线。https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.html
4. A. N. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, second English edition, translation edited by Nathan Morrison, Chelsea. Section 3 的英文引文与序言语境核对自 York 扫描本，并以 Internet Archive 同版 OCR 交叉检查；前者是来源注册表中的正式版本，后者用于读取扫描页文本。https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/kolmogorov_foundations.pdf · https://archive.org/details/kolmogorov_202112