2026-08-12 · 把闭路展开成空间

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 昨天对指数覆盖

$$p:\mathbb{R}\to S^1,p(t)=e^{2\pi it}$$

做了一次关键计算：圆周闭路从 $0$ 出发提升到实直线后，终点落在整数中，于是 ${\pi }_1(S^1,1)\cong \mathbb{Z}$。但这仍留下更结构性的问题：

1. 为什么恰好是某些闭路提升后闭合？
2. 给定基本群的一个子群，能否反过来造出一个覆盖？
3. 普遍覆盖为何拥有一整群离散对称性？

今天的主线是 covering-space classification（覆盖空间分类）：覆盖上方的几何与底空间基本群的子群，本是同一份信息的两种表示。

对象与量词层。 固定带基点空间 $(X,x_0)$。本期同时处理四种对象：

• 覆盖映射 $p:(E,e_0)\to (X,x_0)$；
• 子群 $H\le G:={\pi }_1(X,x_0)$；
• 从 $x_0$ 出发的路径之等价类；
• 满足 $p\circ \phi =p$ 的 deck transformation（甲板变换）$\phi :E\to E$。

分类定理不是对任意拓扑空间无条件成立。核心假设是：$X$ 路径连通、局部路径连通，并且 semilocally simply connected（半局部单连通），即

$$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }\text{ 开邻域 }{U}_x\ni x,$$

使包含映射 $i:U_x\hookrightarrow X$ 诱导的同态

$$i_{\ast }:{\pi }_1(U_x,x)\to {\pi }_1(X,x)$$

为平凡同态。注意这不要求 $U_x$ 自己单连通；只要求 $U_x$ 中的每条闭路放进整个 $X$ 后可缩。

前置与去向。 前置是昨日的基本群、路径提升与同伦提升，再加群论中的子群、共轭、正规化子与群作用。去向包括 monodromy（单值化作用）、复对数与根式的全局分支、射影空间、纽结覆盖，以及代数几何中的 étale fundamental group（étale 基本群）。

主导 proof engines。 本期有三台机器：

$$\text{lift a null-homotopy}⟹p_{\ast }\text{ 单射},$$

$$\text{lift paths and compare endpoints}⟹\text{子群判据},$$

$$\text{paths modulo }H⟹\text{从代数数据重建覆盖}.$$

这是 exploration-2026-w33-loops-and-lifts 的第 2/3 期：昨日从闭路得到整数，今日从全部闭路得到覆盖空间；明日将把闭路在纤维上的置换写成 monodromy，并用它处理具体提升障碍。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 从一条提升到一个子群

令 $p:(E,e_0)\to (X,x_0)$ 是覆盖映射，并假设 $E$ 路径连通。覆盖诱导同态

$$p_{\ast }:{\pi }_1(E,e_0)\to {\pi }_1(X,x_0),p_{\ast }([\tilde{\alpha }])=[p\circ \tilde{\alpha }].$$

命题（覆盖诱导单射）。 $p_{\ast }$ 是单射。

证明。 若 $p_{\ast }([\tilde{\alpha }])=1$，则闭路 $p\circ \tilde{\alpha }$ 在 $X$ 中存在端点固定的零同伦 $H:I^2\to X$。以 $\tilde{\alpha }$ 作为 $H$ 在一条边上的指定提升，homotopy lifting property（同伦提升性质）给出 $\tilde{H}:I^2\to E$。零同伦的另一条边是常值路径，其提升也是常值路径；故 $\tilde{\alpha }$ 在 $E$ 中零同伦，于是 $[\tilde{\alpha }]=1$。

因此可把 ${\pi }_1(E,e_0)$ 认作 $G={\pi }_1(X,x_0)$ 的子群

$$H_p:=p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)\le G.$$

这个子群有直接的可执行含义。给定底空间闭路 $\gamma$，令 $\tilde{\gamma }$ 是从 $e_0$ 出发的唯一提升，则

$$[\gamma ]\in H_p⟺\tilde{\gamma }(1)=e_0.$$

“属于子群”正等价于“提升后闭合”。

1.2 提升判据：代数包含控制几何存在

定理（Lifting Criterion）。 设 $p:(E,e_0)\to (X,x_0)$ 是覆盖映射；设 $Y$ 路径连通且局部路径连通，$y_0\in Y$，并令

$$f:(Y,y_0)\to (X,x_0)$$

连续。则存在保基点提升

$$\tilde{f}:(Y,y_0)\to (E,e_0),p\circ \tilde{f}=f,$$

当且仅当

$$f_{\ast }{\pi }_1(Y,y_0)\subseteq p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0).$$

若提升存在，它由 $\tilde{f}(y_0)=e_0$ 唯一确定。

必要性。 若 $f=p\circ \tilde{f}$，函子性立即给出

$$f_{\ast }{\pi }_1(Y,y_0)=p_{\ast }{\tilde{f}}_{\ast }{\pi }_1(Y,y_0)\subseteq p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0).$$

充分性的构造思想。 对每个 $y\in Y$ 选一条从 $y_0$ 到 $y$ 的路径 ${\eta }_y$，提升 $f\circ {\eta }_y$ 并定义

$$\tilde{f}(y):=\widetilde{f\circ {\eta }_y}(1).$$

真正的问题是选择另一条路径会不会得到不同端点。若 ${\eta }_y^{\prime }$ 也是从 $y_0$ 到 $y$ 的路径，则 ${\eta }_y\ast \overline{{\eta }_y^{\prime }}$ 是闭路；子群包含条件保证其像的提升闭合。由提升的唯一性，两条提升终点相同。因此定义与路径选择无关。局部路径连通性允许在一个路径连通小邻域中统一追加短路径，并借覆盖片的局部逆证明 $\tilde{f}$ 连续。

唯一性。 两个保基点提升在 $y_0$ 相等。沿任意从 $y_0$ 到 $y$ 的路径限制后，它们都是同一路径、同一起点的提升，故在 $y$ 也相等。

这一定理是分类机制的铰链：一个几何映射能否穿过覆盖，最终由基本群像是否落入一个子群决定。

1.3 分类定理：覆盖空间与子群的 Galois dictionary

两个带基点覆盖

$$p_i:(E_i,e_i)\to (X,x_0),i=1,2,$$

称为等价，若存在保基点同胚 $\mathrm{\Phi }:E_1\to E_2$ 满足 $p_2\circ \mathrm{\Phi }=p_1$。

定理（Classification of Connected Covering Spaces）。 设 $X$ 路径连通、局部路径连通且半局部单连通。记 $G={\pi }_1(X,x_0)$。则：

1. 带基点的路径连通覆盖之等价类，与子群 $H\le G$ 一一对应；
2. 忘掉纤维中的基点后，路径连通覆盖之等价类，与子群的共轭类一一对应；
3. 普遍覆盖对应平凡子群 $\{1\}$。

覆盖到子群的方向已经给出：

$$p:(E,e_0)\to (X,x_0)⟼p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0).$$

反方向才是存在性内容。给定 $H\le G$，令 $P(X,x_0)$ 为所有从 $x_0$ 出发的路径。对 $\alpha ,\beta \in P(X,x_0)$ 定义

$$\alpha {\sim }_H\beta$$

当且仅当

$$\alpha (1)=\beta (1)\text{且}[\alpha \ast \bar{\beta }]\in H.$$

令

$$E_H:=P(X,x_0)/{\sim }_H,p_H([\alpha {]}_H)=\alpha (1).$$

半局部单连通性保证每个 $x\in X$ 有足够小的路径连通邻域 $U$，其中闭路放进 $X$ 后都零同伦。对终点为 $x$ 的路径类 $[\alpha {]}_H$，把所有

$$[\alpha \ast \eta {]}_H$$

组成一个基本开集，其中 $\eta$ 遍历 $U$ 内从 $x$ 出发的路径。端点映射把这个基本开集同胚地映到 $U$；不同路径类给出的片彼此不交。于是 $p_H:E_H\to X$ 是覆盖，而且

$$(p_H{)}_{\ast }{\pi }_1(E_H,[c_{x_0}{]}_H)=H.$$

这里 $c_{x_0}$ 是常值路径。路径提升判据进一步说明：两个带基点覆盖对应同一子群时，彼此存在互逆的覆盖映射，故等价。

为何忘掉基点后出现共轭？若把纤维基点 $e_0$ 换成 $e_1$，选一条从 $e_0$ 到 $e_1$ 的路径并投影到底空间，会把 $H_p$ 改成 $gH{g}^{-1}$。因此基点记录具体子群，忘掉基点只保留其共轭类。

1.4 普遍覆盖与甲板变换

定义（普遍覆盖）。 覆盖 $q:\tilde{X}\to X$ 称为 universal cover（普遍覆盖），若 $\tilde{X}$ 路径连通且单连通。

在上述三项底空间假设下，取 $H=\{1\}$ 的路径类构造便给出普遍覆盖。它在覆盖等价意义下唯一。

定义（甲板变换）。 覆盖 $p:E\to X$ 的甲板变换是满足

$$p\circ \phi =p$$

的同胚 $\phi :E\to E$。全体甲板变换在复合下成群，记作 $\mathrm{Deck}(E/X)$。

甲板变换由一个纤维点的像唯一决定：若两个甲板变换在某一点相等，则它们作为 $p$ 的两个提升，由唯一提升性可知处处相等。

设连通覆盖对应 $H\le G$，其 normalizer（正规化子）为

$$N_G(H)=\{g\in G:gH{g}^{-1}=H\}.$$

定理（Deck Group Formula）。

$$\mathrm{Deck}(E_H/X)\cong N_G(H)/H.$$

机制。 甲板变换可以把选定纤维点送到同一纤维中的另一个点，但目标点对应的带点子群必须仍等于 $H$；沿底空间闭路移动纤维点会把 $H$ 共轭成 $gH{g}^{-1}$，因此可允许的 $g$ 恰在 $N_G(H)$ 中。落在 $H$ 内的闭路不改变该纤维点，故最后要模去 $H$。

于是覆盖 regular / normal（正规）当且仅当 $H⊴G$；此时

$$\mathrm{Deck}(E_H/X)\cong G/H.$$

特别地，普遍覆盖对应 $H=\{1\}$，所以在固定路径拼接约定后

$$\mathrm{Deck}(\tilde{X}/X)\cong {\pi }_1(X,x_0).$$

这回答了开头的问题：基本群不只“计数洞”，还作为普遍覆盖的离散对称群作用在无洞的总空间上。

1.5 圆周：全部连通覆盖一眼看尽

对 $S^1$，有 $G\cong \mathbb{Z}$。它的子群只有

$$\{0\}\text{与}n\mathbb{Z}(n\ge 1).$$

• $\{0\}$ 对应普遍覆盖 $\mathbb{R}\to S^1$，$t\mapsto e^{2\pi it}$；甲板变换为 $t\mapsto t+k$，$k\in \mathbb{Z}$。
• $n\mathbb{Z}$ 对应 $n$ 叶覆盖
  $$p_n:S^1\to S^1,p_n(z)=z^n;$$
  甲板变换为 $z\mapsto e^{2\pi ik/n}z$，故甲板群同构于 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。

因为 $\mathbb{Z}$ 的每个子群都正规，圆周的每个连通覆盖都是正规覆盖。

Graduate / modern extension。 不必只看连通覆盖。对一个覆盖 $p:E\to X$，闭路提升把纤维 $F=p^{-1}(x_0)$ 上的点置换，给出 $G$ 在 $F$ 上的作用；覆盖连通当且仅当该作用传递。反过来，在同样的局部假设下，每个 $G$-set 都能重建一个覆盖。于是

$$\{X\text{ 上的覆盖}\}\simeq \{{\pi }_1(X,x_0)\text{-sets}\},$$

这里的符号表达 category equivalence（范畴等价），而不只是对象个数相同。这是 monodromy、局部系统与后续 Galois 型理论的共同原型。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目

设 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$ 为测度空间，$f_n:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ 为可积函数，并且存在 $g\in L^1(\mu )$ 使

$$\mathrm{\forall }n\ge 1,f_n\ge g\mu \text{-a.e.}$$

若 $f_n\to f$ 几乎处处，证明 $f$ 的积分作为广义实数有良好定义，并且

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}fd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}_{n}d\mu .$$

模板识别

信号是：“逐点极限 + 要证积分的下半连续性”，但函数不一定非负。标准 Fatou lemma（Fatou 引理）只直接处理非负函数；题目给出的公共可积下界正是把序列整体平移到非负锥中的许可证。应识别为

$$\text{common integrable minorant}+\text{shift to nonnegative}+\text{Fatou}.$$

分级提示

1. 令 $h_n=f_n-g$。先检查 $h_n\ge 0$、可测，并找出它的几乎处处极限。
2. 对 $(h_n)$ 应用非负函数版 Fatou 引理。
3. 为什么 $f\ge g$ 能保证 $f^{-}$ 可积，从而 $\int f$ 不会出现 $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$？
4. 最后只需谨慎处理
   $$\underset{n}{lim inf}(\int f_n-\int g).$$

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

人物与语境。 Terence Tao 于 2010 年 9 月 25 日在自己的 What's new 博客发布 245A 实分析课程讲义 “Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems”。在证明 Fatou 引理并讨论 moving bump（移动峰）反例后，他把形式不等式解释为质量只能单向损失的机制：

“Informally, Fatou’s lemma tells us that when taking the pointwise limit of unsigned functions ... mass ... can be destroyed in the limit ... but it cannot be created in the limit.”

中译。 “非正式地说，Fatou 引理告诉我们：对非负函数取逐点极限时，质量可以在极限中消失，却不能在极限中凭空产生。”（引文中的省略号略去函数与积分公式及一个回指移动峰例子的括注。）

评注。 这不是把不等式换成模糊比喻，而是准确保存了方向：对非负 $f_n$，逐点极限可能看不见向无穷远逃逸或不断移动的质量，因此

$$\int \underset{n}{lim inf}{f}_n\le \underset{n}{lim inf}\int f_n;$$

反向不等式却没有一般理由成立。今日习题中的公共可积下界 $g$ 所做的，正是把 $f_n-g$ 送回这个“非负质量”语境，再由 $g\in L^1$ 保证平移前后的积分运算合法。

Tao 的表述示范了一种可复用的读定理方法：先保持对象类型与不等式方向，再寻找最近的失效机制。若允许符号变化，负质量便可能抵消，Fatou 的单向图景立即失效；若再加入可积控制，则逃逸被封住，才有机会升级为 dominated convergence（控制收敛）。这种方法同样适用于今天的主线：覆盖分类的局部假设不是装饰，而应由一个精确的失效对象来校准。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

错误命题

每个路径连通、局部路径连通空间都有普遍覆盖；其连通覆盖总能由基本群子群分类。

这个命题为假。考虑 Hawaiian earring：在平面中令

$$C_n=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:{(x-\frac{1}{n})}^2+y^2=\frac{1}{n^2}\},$$

并取

$$\mathbb{H}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n.$$

所有圆都经过原点 $o=(0,0)$，且直径趋于 $0$。$\mathbb{H}$ 是路径连通的；它也局部路径连通，但在 $o$ 处不是半局部单连通。

逐项检查小闭路障碍。

1. 任取 $o$ 在 $\mathbb{H}$ 中的邻域 $U$。存在 $\epsilon >0$ 使
   $$B_{\epsilon }(o)\cap \mathbb{H}\subseteq U.$$
   当 $n$ 足够大时，$C_n\subset B_{\epsilon }(o)$，故 $C_n\subset U$。
2. 令 ${\ell }_n$ 绕 $C_n$ 一周。它作为 $U$ 中的闭路，放进 $\mathbb{H}$ 后仍不零同伦。
3. 为验证第 2 点，定义
   $$r_n:\mathbb{H}\to C_n$$
   在 $C_n$ 上为恒等映射，并把所有 $C_m$（$m\ne n$）压到公共点 $o$。该映射连续，且 $r_n{|}_{C_n}={\mathrm{id}}_{C_n}$；因此包含 $j_n:C_n\hookrightarrow \mathbb{H}$ 在基本群上有左逆：
   $$(r_n{)}_{\ast }\circ (j_n{)}_{\ast }={\mathrm{id}}_{{\pi }_1(C_n,o)}.$$
   所以 $(j_n{)}_{\ast }$ 单射，而 $[{\ell }_n]\ne 1$。

于是对每个 $o$ 的邻域 $U$，包含映射

$${\pi }_1(U,o)\to {\pi }_1(\mathbb{H},o)$$

都不是平凡同态；半局部单连通性确实失败。

为何这排除经典普遍覆盖？ 假设存在普遍覆盖

$$p:(\tilde{\mathbb{H}},\tilde{o})\to (\mathbb{H},o).$$

取 $o$ 的均匀覆盖邻域 $U$，并取包含 $\tilde{o}$ 的覆盖片 $\tilde{U}$。$p{|}_{\tilde{U}}:\tilde{U}\to U$ 是同胚，所以 $U$ 中任一以 $o$ 为基点的闭路都能在 $\tilde{U}$ 中提升成以 $\tilde{o}$ 为起终点的闭路。由于 $\tilde{\mathbb{H}}$ 单连通，该提升闭路可缩；投影其零同伦后，原闭路也应在 $\mathbb{H}$ 中可缩。这迫使

$${\pi }_1(U,o)\to {\pi }_1(\mathbb{H},o)$$

为平凡同态，与上面的 ${\ell }_n$ 矛盾。

边界究竟在哪里？ $\mathbb{H}$ 当然仍有基本群；失败的不是“闭路可以组成群”，而是小尺度上始终存在不可消去的闭路，使路径类构造无法在 $o$ 上方产生经典覆盖所需的均匀覆盖邻域。因此半局部单连通不是技术装饰，而是把全局路径类空间变成局部平凡覆盖的关键条件。更一般的 generalized coverings（广义覆盖）可以处理部分 wild spaces（野空间），但那已超出经典分类定理的对象范畴。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

令

$$X=S^1\vee S^1,{\pi }_1(X,x_0)=F(a,b),$$

其中 $a,b$ 分别绕两只圆。考虑 $F(a,b)$ 在三点集 $\{1,2,3\}$ 上的作用，由

$$a⟼(123),b⟼(12)$$

生成；置换复合约定为从右向左执行。

今日一问。 利用“覆盖 $\leftrightarrow {\pi }_1$-set”字典研究它对应的三叶覆盖：

1. 证明该覆盖连通，当且仅当这个作用在 $\{1,2,3\}$ 上传递；
2. 以点 $1$ 为纤维基点，说明对应子群是
   $$H={\mathrm{Stab}}_{F(a,b)}(1),$$
   并求其在 $F(a,b)$ 中的指数；
3. 判断 $H$ 是否正规，从而判断覆盖是否正规；
4. 把甲板变换看成同时与 $(123)$、$(12)$ 交换的纤维置换，确定甲板群。

定向提示。 不必先画完整覆盖图。先追踪 $1$ 在生成元及其逆元作用下能到哪些点；研究甲板变换时，则把候选置换 $\tau \in S_3$ 代入

$$\tau (123)=(123)\tau ,\tau (12)=(12)\tau .$$

问题保留的思考空间在于：一个连通的有限覆盖可以拥有很少、甚至没有非平凡甲板对称；“叶数”与“甲板群大小”只有在正规覆盖中才简单吻合。

数学地图。

$$\begin{array}{rl}& \text{闭路与端点固定同伦}\\ & \Downarrow \\ & {\pi }_1(X,x_0)\text{ 与路径提升}\\ & \Downarrow \\ & \text{连通覆盖}⟷\text{基本群子群}\\ & \Downarrow \\ & \text{普遍覆盖、正规覆盖、正规化子商群}\\ & \Downarrow \\ & {\pi }_1\text{ 在纤维上的 monodromy 作用}\\ & \Downarrow \\ & \text{局部系统、复解析延拓、纽结覆盖、étale 基本群。}\end{array}$$

明日将沿最后两层继续：把“闭路提升是否闭合”改写成 monodromy 与映射提升障碍，并在复对数、$n$ 次根和射影空间中做具体计算。

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

模板名称：公共可积下界平移 + 非负 Fatou 引理。

由 $f_n\to f$ 几乎处处以及每个 $f_n$ 可测，$f$ 可测。删去一个零测集后，可同时假设对每个 $n$ 都有 $f_n\ge g$，并且 $f_n\to f$；于是逐点取极限得到

$$f\ge g.$$

令

$$h_n=f_n-g,h=f-g.$$

则每个 $h_n$ 非负可测，且 $h_n\to h$ 几乎处处，所以 $h\ge 0$。非负函数版 Fatou 引理给出

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}hd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{h}_{n}d\mu .$$

先检查 $\int f$ 的合法性。由 $f\ge g$，有

$$f^{-}:=max\{-f,0\}\le max\{-g,0\}=g^{-}.$$

因为 $g\in L^1(\mu )$，所以 $g^{-}\in L^1(\mu )$，进而 $f^{-}\in L^1(\mu )$。因此

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}fd\mu \in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$$

有良好定义，不会出现 $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$。又因 $h\ge 0$ 且 $g$ 可积，广义积分的线性分解合法：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}fd\mu ={\int }_{\mathrm{\Omega }}hd\mu +{\int }_{\mathrm{\Omega }}gd\mu .$$

对每个 $n$，$f_n$ 与 $g$ 都可积，故

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}{h}_{n}d\mu ={\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}_{n}d\mu -{\int }_{\mathrm{\Omega }}gd\mu .$$

把这些代入 Fatou 不等式，并利用有限常数可从下极限中提出：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathrm{\Omega }}fd\mu & ={\int }_{\mathrm{\Omega }}hd\mu +{\int }_{\mathrm{\Omega }}gd\mu \\ & \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{h}_{n}d\mu +{\int }_{\mathrm{\Omega }}gd\mu \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}({\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}_{n}d\mu -{\int }_{\mathrm{\Omega }}gd\mu )+{\int }_{\mathrm{\Omega }}gd\mu \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}_{n}d\mu .\end{array}$$

证毕。

这个模板的可复用骨架是：当极限定理只适用于非负对象，而题目给出统一的可积下界时，先减去下界进入非负锥；应用非负定理后，再用下界的可积性恢复线性运算。若公共下界不可积，这个恢复步骤可能失去意义，正是条件不可随意删除之处。

资料与来源 (Sources)

1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，作者维护的 official electronic edition。Chapter 1.3 “Covering Spaces” 给出提升性质、覆盖分类、甲板变换与群作用；本期采用其 Proposition 1.30–1.39 一带的标准框架：
   • https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
   • https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATplain.pdf
2. MIT OpenCourseWare, 18.904 Seminar in Topology, Spring 2011, “Lecture Summaries”。Sessions 9–14 明列普遍覆盖构造、提升判据、子群对应、Galois correspondence 与覆盖的置换表示，可用于核对本期依赖链：
   • https://ocw.mit.edu/courses/18-904-seminar-in-topology-spring-2011/pages/lecture-summaries
3. Liban Mohamed, Math 751 Lecture Notes Week 7, University of Wisconsin–Madison, Fall 2014。包含带点及无点覆盖分类、普遍覆盖存在条件、Hawaiian earring 的收缩映射论证，以及 $\mathrm{Deck}(E/X)\cong N(H)/H$：
   • https://people.math.wisc.edu/~lmaxim/751f14w7.pdf
4. Terence Tao, “245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems,” What's new, September 25, 2010。Section 3 的短引取自 Remark 12，并已在原页逐字核对；同页给出 Fatou 引理、移动峰反例与控制收敛定理的依赖关系：
   • https://terrytao.wordpress.com/2010/09/25/245a-notes-3-integration-on-abstract-measure-spaces-and-the-convergence-theorems
5. Casey Rodriguez (lecturer), Andrew Lin (notes), 18.102: Introduction to Functional Analysis, MIT OpenCourseWare, Spring 2021。Theorem 118 陈述非负函数版 Fatou 引理；本期习题是在公共可积下界下的平移版本：
   • https://ocw.mit.edu/courses/18-102-introduction-to-functional-analysis-spring-2021/8fb8d5c170f1613151aca71de21027bc_MIT18_102s21_full_lec.pdf