2026-07-31 · 让公平性穿过随机时间

0. 导读与元结构 (Orientation & Meta-structure)

起点问题。 前两日依次完成了

$$\text{绝对连续测度}⟶\text{Radon--Nikodym 密度}⟶\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}].$$

但单个子 $\sigma$-代数 $\mathcal{G}$ 只描述一张静态的信息快照。若信息随离散时间增长，我们面对的是一列

$${\mathcal{F}}_0\subseteq {\mathcal{F}}_1\subseteq {\mathcal{F}}_2\subseteq \cdots ,$$

而问题变成：一个过程怎样才算在每一时刻都没有可由当前信息预测的漂移？若观察者还能依照已经看见的历史选择离场时刻，公平性是否仍能保持？

对象与量词分为五层：

1. 概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 承载全部随机性；
2. 滤过 (filtration) $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 编码逐时增长的信息；
3. 过程 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 的每个 $M_n$ 必须对当时信息 ${\mathcal{F}}_n$ 可测且可积；
4. 鞅条件要求对每个 $n\ge 0$，$\mathbb{E}[M_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n$ 几乎必然成立；
5. 停时 (stopping time) $\tau$ 的“现在是否已经停止”必须仅由现在的信息判定。

前置知识是条件期望的存在唯一性、已知因子提出、塔式性质，以及独立随机变量的条件期望。主导 proof engines 是：把未来增量条件化为零；识别停时事件的可测层级；将停止值写成可预测示性函数乘增量的有限和；在无界时域中另行检查极限与期望能否交换。

本期是三日 anchor micro-arc“信息与密度”的第 3 日，也是收束日：第 1 日把集合函数变成密度，第 2 日把随机变量压到可见信息，今天让可见信息沿时间增长并进入鞅。下一条自然路线有两支：向分析侧进入一致可积性与鞅收敛，向组合概率侧进入随机图揭示鞅与集中不等式。

1. 核心概念、定理与谱系 (Concept, Theorem & Lineage)

1.1 从信息层到零条件漂移

定义（filtration，滤过）。 设 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间。一列子 $\sigma$-代数 $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 称为滤过，当且仅当

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,{\mathcal{F}}_n\subseteq {\mathcal{F}}_{n+1}\subseteq \mathcal{F}.$$

过程 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 称为适应于 (adapted to) 该滤过，当且仅当

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,M_n:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}\text{ 是 }{\mathcal{F}}_n\text{-可测的}.$$

定义（martingale，鞅）。 适应过程 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 称为关于 $({\mathcal{F}}_n)$ 的鞅，当且仅当

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,\mathbb{E}|M_n|<\mathrm{\infty },$$

并且

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,\mathbb{E}[M_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

这一定义依赖于滤过；同一个随机过程换一套信息结构，可能不再是鞅。它也强于边际均值恒定。鞅条件经塔式性质推出

$$\mathrm{\forall }0\le n\le m,\mathbb{E}[M_m\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n,$$

从而 $\mathbb{E}{M}_m=\mathbb{E}{M}_n$。反过来，仅有 $\mathbb{E}{M}_n$ 不随 $n$ 变化，不能控制看见历史后的条件预测。

基本例。 若 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 相互独立、可积且 $\mathbb{E}{\xi }_k=0$，令

$$S_n=\sum _{k=1}^n{\xi }_k,{\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),$$

其中 $S_0=0$。则

$$\mathbb{E}[S_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=S_n+\mathbb{E}[{\xi }_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=S_n.$$

这里“公平”不是说路径不涨不跌，而是说下一步增量在当前信息下的条件均值为零。

1.2 前一期条件期望怎样自动生成鞅

定理（terminal-variable martingale，终值变量鞅）。 设 $X\in L^1(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$，$({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 为滤过。定义

$$M_n=\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_n].$$

则 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 是关于 $({\mathcal{F}}_n)$ 的鞅。

证明架构。 条件期望的定义保证 $M_n$ 对 ${\mathcal{F}}_n$ 可测且可积。又因 ${\mathcal{F}}_n\subseteq {\mathcal{F}}_{n+1}$，塔式性质给出

$$\mathbb{E}[M_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_{n+1}]\mid {\mathcal{F}}_n]=\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n.$$

故证。

这就是本 micro-arc 的结构闭环：Radon–Nikodym 定理提供条件期望；塔式性质协调嵌套信息；把同一个 $X$ 依次投影到增长的可见层，便得到“逐次修订的最佳预测”。鞅理论由此不是另起炉灶，而是条件期望沿时间轴的组织形式。

1.3 停时：只能用已经看见的信息决定何时停

定义（stopping time，停时）。 随机变量

$$\tau :\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\}$$

称为关于 $({\mathcal{F}}_n)$ 的停时，当且仅当

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,\{\tau \le n\}\in {\mathcal{F}}_n.$$

等价地，对每个 $n$，事件 $\{\tau =n\}$ 属于 ${\mathcal{F}}_n$。首次进入一个 Borel 集 $B$ 的时刻

$${\tau }_B=inf\{n\ge 0:M_n\in B\}$$

是停时，因为

$$\{{\tau }_B\le n\}=\bigcup _{k=0}^n\{M_k\in B\}\in {\mathcal{F}}_n.$$

反之，“在前 $N$ 步中取得全局最大值的最后时刻”通常不是停时：在时刻 $n<N$ 无法知道未来会不会出现更大值。

1.4 有界停时的可选停止定理

定理（optional stopping at a bounded horizon，有界时域的可选停止）。 设 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 是关于 $({\mathcal{F}}_n)$ 的鞅，$\tau$ 是停时，并且存在确定的 $N\in {\mathbb{N}}_0$ 使

$$\mathbb{P}(\tau \le N)=1.$$

则 $M_{\tau }\in L^1$，且

$$\mathbb{E}[M_{\tau }]=\mathbb{E}[M_0].$$

为什么需要“停时”与“有界”两类条件。 停时保证第 $k$ 个增量是否会被计入，只依赖第 $k-1$ 步以前的信息；有界性把问题压成有限和，完全避开极限与期望交换。

证明。 记 $\mathrm{\Delta }{M}_k=M_k-M_{k-1}$。逐路径地有

$$M_{\tau }=M_0+\sum _{k=1}^N{\mathbf{1}}_{\{\tau \ge k\}}\mathrm{\Delta }{M}_k.$$

因为

$$\{\tau \ge k\}=\{\tau \le k-1{\}}^{\mathsf{c}}\in {\mathcal{F}}_{k-1},$$

示性函数 ${\mathbf{1}}_{\{\tau \ge k\}}$ 在第 $k$ 个增量发生前已经可知。于是由已知因子提出与鞅条件，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[{\mathbf{1}}_{\{\tau \ge k\}}\mathrm{\Delta }{M}_k\right]& =\mathbb{E}[{\mathbf{1}}_{\{\tau \ge k\}}\mathbb{E}[\mathrm{\Delta }{M}_k\mid {\mathcal{F}}_{k-1}]]\\ & =0.\end{array}$$

有限求和后即得 $\mathbb{E}{M}_{\tau }=\mathbb{E}{M}_0$。同时 $M_{\tau }=\sum _{j=0}^N{M}_j{\mathbf{1}}_{\{\tau =j\}}$，故其可积性也由有限和直接得到。

这个证明还揭示一个更一般的机制：若 $H_k$ 是有界且 ${\mathcal{F}}_{k-1}$-可测的投注额，则固定时域内

$$G_N=\sum _{k=1}^N{H}_k\mathrm{\Delta }{M}_k$$

满足 $\mathbb{E}{G}_N=0$。可预测地改变下注规模不会凭空制造条件均值；可选停止只是取 $H_k={\mathbf{1}}_{\{\tau \ge k\}}$ 的特殊情形。

1.5 Graduate / modern extension：无界停时需要一致可积性

令 $\tau$ 只满足 $\mathbb{P}(\tau <\mathrm{\infty })=1$。对每个 $n$，截断停时 $\tau \wedge n$ 有界，因此

$$\mathbb{E}[M_{\tau \wedge n}]=\mathbb{E}[M_0].$$

又因每条满足 $\tau (\omega )<\mathrm{\infty }$ 的路径最终停止，

$$M_{\tau \wedge n}⟶M_{\tau }\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

但几乎处处收敛本身不足以把期望送入极限。所缺的正是一类尾部控制。

定义（uniform integrability，一致可积性）。 随机变量族 $\mathcal{H}\subseteq L^1(\mathbb{P})$ 称为一致可积，当且仅当

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }K=K(\epsilon )>0,\mathrm{\forall }Y\in \mathcal{H},\mathbb{E}[|Y|{\mathbf{1}}_{\{|Y|>K\}}]<\epsilon .$$

若停止族

$${\mathcal{H}}_{\tau }=\{M_{\tau \wedge n}:n\in {\mathbb{N}}_0\}$$

一致可积，那么“几乎处处收敛 + 一致可积”推出 $L^1$ 收敛：

$$\mathbb{E}|M_{\tau \wedge n}-M_{\tau }|⟶0.$$

因此

$$\mathbb{E}[M_{\tau }]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{E}[M_{\tau \wedge n}]=\mathbb{E}[M_0].$$

这里的 modern viewpoint 是：可选停止定理真正需要的不是某个唯一的“神奇有界性假设”，而是足以控制停止族尾部、允许期望通过极限的条件。有界停时、过程一致有界、适当的 $L^p$ 控制等，都是实现这一目标的不同充分条件；具体使用哪一种，必须与过程和停时共同核验。

2. 固定模板习题 (Template Exercise)

题目。 设 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 相互独立且同分布，并满足

$$\mathbb{E}{\xi }_1=0,\mathbb{E}{\xi }_1^2={\sigma }^2<\mathrm{\infty }.$$

令

$$S_0=0,S_n=\sum _{k=1}^n{\xi }_k,{\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n).$$

1. 证明

   $$Q_n=S_n^2-n{\sigma }^2$$

   是关于 $({\mathcal{F}}_n)$ 的鞅。

2. 若 $\tau$ 是任意停时，令 $T_N=\tau \wedge N$。证明

   $$\mathbb{E}[S_{T_N}^2]={\sigma }^2\mathbb{E}[T_N].$$

模板识别。 当某个非线性量每一步都产生一个可预测的平均漂移时，信号不是“它本身就是鞅”，而是“减去累计漂移后可能成为鞅”。平方过程的信号是展开式中的交叉项与条件二阶矩；随机时刻问题的信号是先截断，再调用有界停时定理。

分级提示。

1. 展开 $S_{n+1}^2=(S_n+{\xi }_{n+1}{)}^2$，先不要取全期望。
2. 条件于 ${\mathcal{F}}_n$；此时 $S_n$ 已知，而 ${\xi }_{n+1}$ 与 ${\mathcal{F}}_n$ 独立。
3. 找出 $\mathbb{E}[S_{n+1}^2-S_n^2\mid {\mathcal{F}}_n]$ 的确定值，并让补偿项逐步抵消它。
4. 第二问中，$T_N\le N$ 几乎必然成立；把第一问得到的鞅停在 $T_N$，再整理等式。

3. 大家之言 (Mathematician in Their Own Words)

Timothy Gowers 在 2014 年 2 月 3 日发表于个人博客的文章 How to work out proofs in Analysis I 中，讨论怎样把初学者眼中的“巧妙证明”拆成可重复执行的局部动作。他还提到自己与 Mohan Ganesalingam 尝试把部分动作写进自动证明程序。原文写道：

The rough idea is that you should equip yourself with a small set of “moves” and simply apply these moves when the opportunity arises.

粗略地说，你应当给自己配备一小组“动作”，并在机会出现时直接应用这些动作。

这不是说证明可以退化成无判断的符号操纵。Gowers 紧接着明确说这是一种 oversimplification；经验仍负责识别何时应用动作、何种应用是“silly”的。今天的可选停止证明恰好可被压成三步动作：识别 ${\mathbf{1}}_{\{\tau \ge k\}}$ 的 ${\mathcal{F}}_{k-1}$-可测性；把它提出条件期望；用 $\mathbb{E}[\mathrm{\Delta }{M}_k\mid {\mathcal{F}}_{k-1}]=0$ 消去每个增量。真正困难的地方不在有限和，而在无界时域中意识到还缺一个“允许交换极限与期望”的动作；一致可积性为这个缺口命名。

来源为 Gowers 本人维护的 Gowers's Weblog；文章页面与发布日期见文末链接。上引英文逐字核对自该页面，中文为本刊翻译。

4. 反例与边界 (Counterexample & Boundary)

我们逐项检查：若只删去“停时有界”而不补充一致可积性，结论确会失败。

令 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 为独立的 Rademacher 随机变量，

$$\mathbb{P}({\xi }_k=1)=\mathbb{P}({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2},$$

并令

$$S_0=0,S_n=\sum _{k=1}^n{\xi }_k,{\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n).$$

定义首次到达 $1$ 的时刻

$$\tau =inf\{n\ge 0:S_n=1\}.$$

检查 1：$(S_n)$ 是鞅。 每个 $S_n$ 可积并且适应；独立性与零均值给出

$$\mathbb{E}[S_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=S_n+\mathbb{E}[{\xi }_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=S_n.$$

检查 2：$\tau$ 是停时。 对每个 $n$，

$$\{\tau \le n\}=\bigcup _{k=0}^n\{S_k=1\}\in {\mathcal{F}}_n.$$

检查 3：$\tau$ 几乎必然有限，但没有确定上界。 事件 $\{\tau >2m\}$ 表示前 $2m$ 步从未高于 $0$。由反射原理或 ballot path 计数，满足这一条件的长度 $2m$ 路径数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})$，故

$$\mathbb{P}(\tau >2m)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})}{2^{2m}}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi m}}⟶0.$$

因此 $\mathbb{P}(\tau <\mathrm{\infty })=1$。另一方面，对每个确定的 $N$ 都有 $\mathbb{P}(\tau >N)>0$，故 $\tau$ 不有界。甚至

$$\mathbb{E}\tau =\sum _{n\ge 0}\mathbb{P}(\tau >n)=\mathrm{\infty },$$

因为偶数项已经按 $m^{-1/2}$ 发散。

检查 4：可选停止结论失败。 由定义，在 $\{\tau <\mathrm{\infty }\}$ 上恒有 $S_{\tau }=1$，所以

$$\mathbb{E}[S_{\tau }]=1,\mathbb{E}[S_0]=0.$$

两者不相等。

精确失败点。 对每个 $n$，$\tau \wedge n$ 有界，故有界停时定理仍给出

$$\mathbb{E}[S_{\tau \wedge n}]=0.$$

同时 $S_{\tau \wedge n}\to S_{\tau }=1$ 几乎必然。若停止族 $\{S_{\tau \wedge n}:n\ge 0\}$ 一致可积，则该收敛必为 $L^1$ 收敛，期望也应从 $0$ 收敛到 $1$，矛盾。因此真正丢失的是尾部控制，而不是有限阶段的鞅恒等式。

这个反例还警告我们：口号“公平游戏无论何时停都仍然公平”缺少关键量词。正确说法必须同时指定停时可使用的信息，以及使随机时域极限合法的有界性、增量控制或一致可积性条件。

5. 今日一问与数学地图 (Question & Map)

今日一问。 设 $(M_n)$ 是鞅，$\tau <\mathrm{\infty }$ 几乎必然，并且存在某个 $p>1$ 使

$$\underset{n\ge 0}{sup}\mathbb{E}|M_{\tau \wedge n}{|}^p<\mathrm{\infty }.$$

这是否足以推出

$$\mathbb{E}[M_{\tau }]=\mathbb{E}[M_0]?$$

若你认为足够，请明确写出从 $L^p$ 有界到一致可积的尾部估计，并指出在哪一步使用 $p>1$；若你认为不够，则需构造同时满足上述上界与结论失败的过程。方向提示： 尝试在集合 $\{|Y|>K\}$ 上把 $|Y|$ 与 $|Y{|}^p$ 联系起来，但保留完整推导空间。

数学地图如下：

$$\begin{array}{c}\text{Radon--Nikodym 密度}\\ \downarrow \\ \text{条件期望与塔式性质}\\ \downarrow \\ \text{滤过上的鞅}\\ \downarrow \\ \text{停时与可选停止}\\ \downarrow \\ \text{一致可积性、鞅收敛、Doob 分解}\end{array}$$

另一条应用支线把随机对象逐步揭示：在随机图中依次暴露顶点、边或邻接矩阵条目，并令 $M_k$ 为目标统计量在第 $k$ 层信息下的条件期望。由塔式性质，$(M_k)$ 自动成为揭示鞅 (exposure martingale)；若再控制单步差分，便通向 Azuma–Hoeffding 型集中不等式、Erdős–Rényi 阈值与概率方法。今天的“信息公平性”因而会在下一轮重新变成组合结构的定量控制。

附录 A：习题完整解答 (Full Solution)

展开完整解答

可复用模板：计算条件漂移，再减去可预测补偿子。

先验证对象类型。因 $\mathbb{E}{\xi }_1^2<\mathrm{\infty }$，每个 $S_n\in L^2$，故 $Q_n=S_n^2-n{\sigma }^2\in L^1$；而 $Q_n$ 是 ${\mathcal{F}}_n$-可测的，所以 $(Q_n)$ 适应。

对每个 $n\ge 0$，展开

$$\begin{array}{rl}{Q}_{n+1}& =S_{n+1}^2-(n+1){\sigma }^2\\ & =(S_n+{\xi }_{n+1}{)}^2-(n+1){\sigma }^2\\ & =S_n^2+2S_n{\xi }_{n+1}+{\xi }_{n+1}^2-(n+1){\sigma }^2.\end{array}$$

条件于 ${\mathcal{F}}_n$。此时 $S_n$ 是 ${\mathcal{F}}_n$-可测的；${\xi }_{n+1}$ 与 ${\mathcal{F}}_n$ 独立，且

$$\mathbb{E}[{\xi }_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=0,\mathbb{E}[{\xi }_{n+1}^2\mid {\mathcal{F}}_n]={\sigma }^2.$$

因此

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Q_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]& =S_n^2+2S_n\mathbb{E}[{\xi }_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]+\mathbb{E}[{\xi }_{n+1}^2\mid {\mathcal{F}}_n]-(n+1){\sigma }^2\\ & =S_n^2+0+{\sigma }^2-(n+1){\sigma }^2\\ & =S_n^2-n{\sigma }^2\\ & =Q_n.\end{array}$$

故 $(Q_n)$ 是鞅。这里 $n{\sigma }^2$ 正是平方过程每步确定增加的条件漂移的累计量，即二次鞅补偿子。

现令 $T_N=\tau \wedge N$。因为停时与常数的最小值仍是停时，且 $T_N\le N$ 几乎必然，有界停时定理适用于 $(Q_n)$：

$$\mathbb{E}[Q_{T_N}]=\mathbb{E}[Q_0]=0.$$

按 $Q_n$ 的定义，随机下标代入后

$$Q_{T_N}=S_{T_N}^2-{\sigma }^2{T}_N.$$

两边取期望并整理即得

$$\boxed{{\displaystyle \mathbb{E}[S_{T_N}^2]={\sigma }^2\mathbb{E}[T_N]}}.$$

关键不是把 $n$ 在某个确定时刻恒等式中“形式替换”为随机变量，而是先证明整个过程 $(Q_n)$ 为鞅，再使用已验证有界性的停时定理。

资料与来源 (Sources)

1. Scott Sheffield, 18.600 Probability and Random Variables, Lecture 34: Martingales and the Optional Stopping Theorem, MIT OpenCourseWare, Fall 2019. 课程页面列出鞅、停时、可选停止定理及条件期望生成鞅的讲义；本期用它核对定义、基本例与定理边界。讲义页面：https://ocw.mit.edu/courses/18-600-probability-and-random-variables-fall-2019/resources/mit18_600f19_lec34/；PDF：https://ocw.mit.edu/courses/18-600-probability-and-random-variables-fall-2019/3ce8cee748c630414deebc968bd375e1_MIT18_600F19_lec34.pdf。
2. Timothy Gowers, “How to work out proofs in Analysis I,” Gowers's Weblog, 3 February 2014. 本期“大家之言”的英文引文与语境均核对自原文：https://gowers.wordpress.com/2014/02/03/how-to-work-out-proofs-in-analysis-i/。
3. 《每日数学》2026-07-30，“把随机变量压到可见信息：条件期望、塔式性质与正交投影”，本地归档：/opt/data/output/daily-mathematics-journal/2026/07/2026-07-30.md。本期以其中的条件期望与塔式性质为明确前置，并新增滤过、鞅、停时及无界停止边界。